Application lipschitzienne
Bonsoir,
J'essaie de démontrer les résultats énoncés.
Je bloque sur certains.
1) D'après l'inégalité triangulaire $| ||x|| - ||y|| | \leq ||x-y||$
2) On montre que : $| d(x,A)-d(y,A) | \leq d(x,y)$ et je bloque ici car on voulait $| d(x,A)-d(y,A) | \leq ||x-y||$ :-S
3) Je n'arrive pas à montrer que $| d(x,y)-d(x',y')| \leq \max \{ ||x-x'||, ||y-y'|| \}$
4) On a clairement $||x_k -y_k || \leq \max \{ ||x_1-y_1||, \cdots, ||x_n-y_n|| \}$
J'essaie de démontrer les résultats énoncés.
Je bloque sur certains.
1) D'après l'inégalité triangulaire $| ||x|| - ||y|| | \leq ||x-y||$
2) On montre que : $| d(x,A)-d(y,A) | \leq d(x,y)$ et je bloque ici car on voulait $| d(x,A)-d(y,A) | \leq ||x-y||$ :-S
3) Je n'arrive pas à montrer que $| d(x,y)-d(x',y')| \leq \max \{ ||x-x'||, ||y-y'|| \}$
4) On a clairement $||x_k -y_k || \leq \max \{ ||x_1-y_1||, \cdots, ||x_n-y_n|| \}$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour la 3) "la" norme produit ne peut pas être celle que tu utilises car autrement c'est faux, c'est plutôt celle-ci $||x-x'||+||y-y'||$
Pour la $2$, on a $||x-y||=d(x,y)$ ce qui résout mon problème (tu)
Montrons que $| d(x,y)- d(x',y') | \leq ||x-x'||+ ||y-y'||$
On a $| d(x,y)- d(x',y') | = | ||x-x'|| - ||y-y'|| | \leq ||x-x'|| + ||y-y'||$ d'après l'inégalité triangulaire.
Par contre ta rédaction ci-dessus est fausse, il y a une étourderie : $| d(x,y)- d(x',y') |$ n'est pas égal à $| ||x-x'|| - ||y-y'|| |$.
$| d(x,y)-d(x',y')| = | ||x-y|| -||x'-y' || | \leq || x-y -(x'-y') ||= || (x-x') +(y'-y) || \leq ||x-x'|| + ||y-y'||$ (inégalité triangulaire)
$\forall z\in A,\;d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ donc $\forall z\in A,\;d(x,A)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
Ainsi $d(x,A)-d(x,y)$ minore $d(y,z)$ pour tout $z\in A$
et tu obtiens $d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)$
Mais si $E$ est un espace vectoriel normé de norme $||.||$ d'après la remarque de Raoul.S on peut toujours écrire $d(x,y)= ||x-y||$.
D'ailleurs même la 4) est valable dans un espace métrique quelconque en remplaçant la norme produit par la distance produit.