Série absolument convergente mais non conv
Bonjour, je suis actuellement en train de préparer un exercice qui a pour but de montrer une série absolument convergente mais qui ne converge pas car l’espace dans lequel on se place n’est pas un Banach. Je vous joins l’exercice à ce message.
J’ai deux questions sur lesquelles je bloque.
- Je ne comprends pas dans la correction ce choix d’un N tel que 1/2^n-1 <= x, quel est l’intérêt d’un tel choix ? Je vois qu’il est utilisé plus tard pour donner une égalité d’intégrale que je ne comprends pas non plus du coup.
- Comment montrer que notre espace de départ n’est pas un [large]B[/large]anach ?
D’avance merci.
Bonne journée.
Alice.
[Stefan Banach (1892-1945) prend toujours une majuscule. AD]
J’ai deux questions sur lesquelles je bloque.
- Je ne comprends pas dans la correction ce choix d’un N tel que 1/2^n-1 <= x, quel est l’intérêt d’un tel choix ? Je vois qu’il est utilisé plus tard pour donner une égalité d’intégrale que je ne comprends pas non plus du coup.
- Comment montrer que notre espace de départ n’est pas un [large]B[/large]anach ?
D’avance merci.
Bonne journée.
Alice.
[Stefan Banach (1892-1945) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Si c'était un Banach, la convergence absolue impliquerait la convergence donc ce n'est pas un Banach.
Si tu poses $x_n=1/2^n,$ tu as $S(t)=S_n(t),$ pour tout $t\in[x_n,1]. $
Sinon sur $[0, x_n]$ on a $S_n(t)=0.$
En effet $||S(t)-S_n(t)||_1=\int_0^{x_n} |S(t)| dt + \int_{x_n}^1 |S(t)-S_n(t)| dt$
et $\int_{x_n}^1 |S(t)-S_n(t)|dt =0$ ne peut valoir que 0 .
En particulier pour $y_n=1/2(1/2^n+1/2^{n-1})$ on a $S(y_n)= S_n(y_n)=n$,
mais alors en faisant tendre $n$ vers l'infini on obtient que $S$ n'est pas bornée.
1) Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy non convergente. Il existe une suite extraite $(y_n)$ telle que $||y_n-y_{n+1}||<2^{-n}$ pour tout $n$.
2) La série $\sum (y_n-y_{n+1})$ répond à la question.
Mais tu as raison dans le sens où je m'éloigne du sujet original.