Série absolument convergente mais non conv

Alitshe
Alitshe
dans Analyse
Bonjour, je suis actuellement en train de préparer un exercice qui a pour but de montrer une série absolument convergente mais qui ne converge pas car l’espace dans lequel on se place n’est pas un Banach. Je vous joins l’exercice à ce message.
J’ai deux questions sur lesquelles je bloque.
- Je ne comprends pas dans la correction ce choix d’un N tel que 1/2^n-1 <= x, quel est l’intérêt d’un tel choix ? Je vois qu’il est utilisé plus tard pour donner une égalité d’intégrale que je ne comprends pas non plus du coup.
- Comment montrer que notre espace de départ n’est pas un [large]B[/large]anach ?
D’avance merci.
Bonne journée.
Alice.

[Stefan Banach (1892-1945) prend toujours une majuscule. AD]128164
128166

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Flemme de tourner la tête ou l'écran mais pour répondre à la deuxième question :
    Si c'était un Banach, la convergence absolue impliquerait la convergence donc ce n'est pas un Banach.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Si tu poses $x_n=1/2^n,$ tu as $S(t)=S_n(t),$ pour tout $t\in[x_n,1]. $
    Sinon sur $[0, x_n]$ on a $S_n(t)=0.$

    En effet $||S(t)-S_n(t)||_1=\int_0^{x_n} |S(t)| dt + \int_{x_n}^1 |S(t)-S_n(t)| dt$

    et $\int_{x_n}^1 |S(t)-S_n(t)|dt =0$ ne peut valoir que 0 .


    En particulier pour $y_n=1/2(1/2^n+1/2^{n-1})$ on a $S(y_n)= S_n(y_n)=n$,

    mais alors en faisant tendre $n$ vers l'infini on obtient que $S$ n'est pas bornée.
     
  • JLT
    JLT
    Généralisation : dans tout espace vectoriel normé non complet il existe une série absolument convergente non convergente. Voici les étapes :

    1) Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy non convergente. Il existe une suite extraite $(y_n)$ telle que $||y_n-y_{n+1}||<2^{-n}$ pour tout $n$.

    2) La série $\sum (y_n-y_{n+1})$ répond à la question.
  • bisam
    bisam
    Pour un exemple de série absolument convergente mais non convergente, on peut aussi se placer dans $\Q$ muni de la distance usuelle et considérer la série $\displaystyle \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$.
  • troisqua
    troisqua
    Bisam, j'ai bien compris que tu voulais juste rappeler que c'est le défaut de complétude qui permet de fabriquer des contre exemples. Mais on cherchait un exemple dans un evn, alors prendre comme corps de base les rationnels ça ne va pas vraiment.
  • bisam
    bisam
    Si je veux faire mon casse-pied, je peux quand même affirmer que $(\Q,+,\cdot)$ muni de la valeur absolue est un $\Q$-espace vectoriel normé.
    Mais tu as raison dans le sens où je m'éloigne du sujet original.
  • troisqua
    troisqua
    Je crois qu'un espace vectoriel normé, dans sa définition usuelle, ne peut pas avoir pour corps de base les rationnels mais, à minima, le corps des réels. C'était l'objet de mon commentaire précédent.
  • Alitshe
    Alitshe
    Bonjour, merci pour toutes vos réponses !
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