Bonjour,
Après avoir vu les relations de comparaison pour une application $f : A \longrightarrow F$ avec $A$ et $F$ des espaces vectoriels normés, j'ai constaté qu'on distingue 3 cas.
$a \in Adh(A)$, $a=+ \infty$ et $a= - \infty$.
Je n'ai pas trop compris pourquoi.
Réponses
Tu es vraiment sûr que $A$ est un evn ?
$E$ est un espace vectoriel normé, et $A$ une partie de $E$.
Homo Topi
Si $x \in \R^2$ alors $x=(x_1,x_2)$ et $x \geq M$ n'a aucun sens.
Mais je ne comprends pas le rapport avec ma question.
Je bloque toujours sur ces 3 cas, je ne comprends pas pourquoi on fait 3 cas.
Si ton bouquin affirme que $A$ est une partie d'un EVN $E$, alors si $x \in A$, alors "$x \geqslant M$" sous-entend que $M \in A$ et que $A$ est munie d'une relation d'ordre. Tu connais beaucoup de relations d'ordre sur les vecteurs ?
En plus, $M$ majuscule est une notation un peu étrange pour un vecteur, surtout qu'on vient de noter un autre vecteur $x$ avec une minuscule.
On a $f : A \longrightarrow F$ avec $A$ partie de $E$ evn et $F$ evn.
Dans toute la suite du chapitre et en l'absence de précision supplémentaire, $a$ désigne un point adhérent à $A$ en l'un des sens suivants :
1er sens : $a$ est un élément de $E$ et $a \in Adh(A)$
2ème sens : $A$ est une partie non majorée de $\R$ et $a=+ \infty$
3ème sens : $A$ est une partie non minorée de $\R$ et $a= - \infty$
Pourquoi les cas $a=+ \infty$ et $-\infty$ ne sont pas intégrés dans $a \in Adh(A)$ ?
$- \infty$ et $+ \infty$ ne sont jamais dans l'adhérence d'un ensemble ?
Si $E= \mathbb{R}$ alors $\infty$ et $-\infty$ ne peuvent être dans $Adh(A)$. C'est le cas ici.
Si $E = \bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ \infty , -\infty\}$ alors oui $Adh(A)$ peut contenir $\infty$ et $-\infty$. Mais ici E n'est pas un evn.
Si tu définis une fonction sur un EVN $E$, ça voudrait dire quoi pour toi de regarder "la limite en l'infini" ? Pour $E=\R^2$ par exemple.
ce sujet aurait plus sa place dans la section Analyse du forum.
Cordialement.
[Exact, transfert réalisé. AD]
On nous dit un peu plus loin que ce truc a est parfois dans l'adhérence de A, parfois égal à $+\infty$ ou $- \infty$
On en déduit quoi sur la nature de a ?
Et donc sur la nature de A ?
Si un jour, tu es prof de lycée, tu pourras poser cette question à tes élèves, pour détecter les matheux et les autres.
Homo Topi
Pour $E=\R^2$ je ne sais pas ce que signifie la limite en l'infini.
Lourran
Ta question est trop vague, je ne sais pas quoi répondre.
Aux élèves je pose des questions plus précises.
Justement la notion de norme permet d'établir une correspondance, disons une norme, entre l'evn abstrait $E$ et $\R$ ! On prend la même définition que pour les fonctions réelles : $f: E\rightarrow F$ possède une limite $\ell$ à l'infini si $\forall \varepsilon >0,~\exists M>0, ~\forall x \in E, \quad \|x\|\geq M \Rightarrow \|f(x)-\ell\| \leq \varepsilon$.
La norme, de part les axiomes qui la définissent, permet bel et bien de ramener les choses de "compliquées" qui se passent dans $E$ aux phénomènes mieux compris dans $\R$.
(PS : évidemment il faut faire comme dans $\R$ et adapter la définition au cas où on veut parler de $\ell=\infty$).
(PS 2 : autant pour moi on parle de relation de domination ici et non pas de limite, mais c'est la même histoire).
Par exemple les formes quadratiques définies positives tendent vers l'infini à l'infini, ça donne de la place à certains théorèmes d'existence d'optimum dans des e.v.n.
Il est indiqué qu'on parle de fonctions de VARIABLE RÉELLE à valeurs dans un EVN.
Dans le cadre de ce cours, l'ensemble de départ de l'application $f$ n'est pas forcément une partie de $\R$. C'est une partie d'un espace vectoriel normé quelconque.