Adhérence

OShine
OShine
dans Analyse
Bonjour,

Après avoir vu les relations de comparaison pour une application $f : A \longrightarrow F$ avec $A$ et $F$ des espaces vectoriels normés, j'ai constaté qu'on distingue 3 cas.

$a \in Adh(A)$, $a=+ \infty$ et $a= - \infty$.

Je n'ai pas trop compris pourquoi.128144

Réponses

  • Homo Topi
    Homo Topi
    Que signifie $x \geqslant M$ quand $A$ est par exemple égal à $\R^2$ ?
  • JLapin
    JLapin
    @Oshine
    Tu es vraiment sûr que $A$ est un evn ?
  • OShine
    OShine
    JLapin

    $E$ est un espace vectoriel normé, et $A$ une partie de $E$.

    Homo Topi

    Si $x \in \R^2$ alors $x=(x_1,x_2)$ et $x \geq M$ n'a aucun sens.

    Mais je ne comprends pas le rapport avec ma question.
  • noobey
    noobey
    Arrête de faire ton robot, bien sûr que la question d'Homo Topi a un rapport avec l'énoncé!
  • OShine
    OShine
    Noobey je n'arrive pas à comprendre le lien.

    Je bloque toujours sur ces 3 cas, je ne comprends pas pourquoi on fait 3 cas.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Ce que j'essaie de te dire, c'est qu'il y a un problème quelque part.

    Si ton bouquin affirme que $A$ est une partie d'un EVN $E$, alors si $x \in A$, alors "$x \geqslant M$" sous-entend que $M \in A$ et que $A$ est munie d'une relation d'ordre. Tu connais beaucoup de relations d'ordre sur les vecteurs ?

    En plus, $M$ majuscule est une notation un peu étrange pour un vecteur, surtout qu'on vient de noter un autre vecteur $x$ avec une minuscule.
  • noobey
    noobey
    J'édite car Homo Topi a vu la réponse (à supp)
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je pense que tu viens de lui vendre la mèche plus que moi.
  • OShine
    OShine
    Désolé il manque une précision.

    On a $f : A \longrightarrow F$ avec $A$ partie de $E$ evn et $F$ evn.

    Dans toute la suite du chapitre et en l'absence de précision supplémentaire, $a$ désigne un point adhérent à $A$ en l'un des sens suivants :

    1er sens : $a$ est un élément de $E$ et $a \in Adh(A)$
    2ème sens : $A$ est une partie non majorée de $\R$ et $a=+ \infty$
    3ème sens : $A$ est une partie non minorée de $\R$ et $a= - \infty$

    Pourquoi les cas $a=+ \infty$ et $-\infty$ ne sont pas intégrés dans $a \in Adh(A)$ ?

    $- \infty$ et $+ \infty$ ne sont jamais dans l'adhérence d'un ensemble ?
  • noobey
    noobey
    Si tu travailles dans E, et A une partie de E, alors tout élément de Adh(A) est par définition dans E
    Si $E= \mathbb{R}$ alors $\infty$ et $-\infty$ ne peuvent être dans $Adh(A)$. C'est le cas ici.
    Si $E = \bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ \infty , -\infty\}$ alors oui $Adh(A)$ peut contenir $\infty$ et $-\infty$. Mais ici E n'est pas un evn.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    "$a=+\infty$", dans $\R$, on peut comprendre ça comme une notation abusive pour une limite. L'idée, c'est que dans $\R$, regarder la limite d'une fonction "en l'infini", ça peut avoir un sens.

    Si tu définis une fonction sur un EVN $E$, ça voudrait dire quoi pour toi de regarder "la limite en l'infini" ? Pour $E=\R^2$ par exemple.
  • skazeriahm
    skazeriahm
    Bonjour OShine,
    ce sujet aurait plus sa place dans la section Analyse du forum.
    Cordialement.

    [Exact, transfert réalisé. AD]
  • lourrran
    lourrran
    Tu as un ensemble A. Tu t'intéresses à un truc a (j'emploie le mot truc, parce que l'énoncé ne précise pas si ce truc est un nombre, une matrice, un vecteur ... )
    On nous dit un peu plus loin que ce truc a est parfois dans l'adhérence de A, parfois égal à $+\infty$ ou $- \infty$

    On en déduit quoi sur la nature de a ?

    Et donc sur la nature de A ?

    Si un jour, tu es prof de lycée, tu pourras poser cette question à tes élèves, pour détecter les matheux et les autres.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    OShine
    Noobey ok merci.

    Homo Topi
    Pour $E=\R^2$ je ne sais pas ce que signifie la limite en l'infini.

    Lourran
    Ta question est trop vague, je ne sais pas quoi répondre.
    Aux élèves je pose des questions plus précises.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Si tu ne sais pas ce que signifierait une limite en $+\infty$ dans un EVN, pourquoi demandes-tu que ces cas soient "intégrés" dans $a \in Adh(A)$ ? Ils n'ont de sens que si l'espace normé en question est $\R$, c'est pour ça qu'ils sont donnés à part.
  • skazeriahm
    skazeriahm
    Si je peux me permettre on peut bel et bien parler de limite en l'infini dans un espace vectoriel normé, tout ce qu'il manque dans les énoncés photographiés par OShine c'est la norme !

    Justement la notion de norme permet d'établir une correspondance, disons une norme, entre l'evn abstrait $E$ et $\R$ ! On prend la même définition que pour les fonctions réelles : $f: E\rightarrow F$ possède une limite $\ell$ à l'infini si $\forall \varepsilon >0,~\exists M>0, ~\forall x \in E, \quad \|x\|\geq M \Rightarrow \|f(x)-\ell\| \leq \varepsilon$.

    La norme, de part les axiomes qui la définissent, permet bel et bien de ramener les choses de "compliquées" qui se passent dans $E$ aux phénomènes mieux compris dans $\R$.

    (PS : évidemment il faut faire comme dans $\R$ et adapter la définition au cas où on veut parler de $\ell=\infty$).

    (PS 2 : autant pour moi on parle de relation de domination ici et non pas de limite, mais c'est la même histoire).
  • Homo Topi
    Homo Topi
    A mon sens, le problème est surtout le suivant : un peut parler de limite quand $\|x\| \longrightarrow \infty$ dans un EVN, c'est sûr. Cependant, rien ne garantit qu'une application quelconque définie sur un EVN ait un comportement "uniforme sur chaque cercle", ce qui est nécessaire pour que la limite en l'infini soit bien définie.
  • skazeriahm
    skazeriahm
    Bah c'est sûr que c'est un comportement très restrictif... de même que toutes les fonctions réelles n'ont pas de limite en l'infini !
  • skazeriahm
    skazeriahm
    Mais en réalité ce comportement, avoir une limite en l'$\infty$ dans un e.v.n est un cas relativement fréquemment recherché, même dans des maths plus abstraites.

    Par exemple les formes quadratiques définies positives tendent vers l'infini à l'infini, ça donne de la place à certains théorèmes d'existence d'optimum dans des e.v.n.
  • SERGE_S
    SERGE_S
    @ OShine : est-tu sûr d'avoir lu le document que tu as posté ?
    Il est indiqué qu'on parle de fonctions de VARIABLE RÉELLE à valeurs dans un EVN.
  • OShine
    OShine
    Serge_S tu as mal lu. L'introduction dit qu'on étend ce qui a été vu en première année. En première année, l'ensemble de départ était toujours une partie de $\R$.

    Dans le cadre de ce cours, l'ensemble de départ de l'application $f$ n'est pas forcément une partie de $\R$. C'est une partie d'un espace vectoriel normé quelconque.
  • SERGE_S
    SERGE_S
    @ OShine : pourtant la définition 8 du document que tu as posté n'a de sens que pour des fonctions vectorielles de variable réelle. C'est quoi -$\infty$ dans un EVN ?
  • OShine
    OShine
    Oui tu as raison.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 13

AleshaMatricule_63Piteux_gorestfj +9 Invités