Clôture faible d'une base orthonormée
Bonjour à tous,
Je fais face à l'exercice suivant en analyse fonctionnelle.
Soit $H$ un espace de Hilbert de dimension infinie muni d'un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Soit $B=\{e_n\}$ une base orthonormée. Soit $\overline{B}$ la clôture de $B$ pour la topologie faible.
J'ai démontré que $0\in \overline{B}$. Je dois démontrer que $\overline{B}=B\cup \{0\}$. Soit $x_0\in \overline{B}$ non-nul. On me donne l'indice de considérer le voisinage suivant de $x_0$ : $U=\{x\in H \mid \langle x-x_0,x_0\rangle < (1-\frac{1}{\sqrt{2}})\langle x_0,x_0\rangle \}$. Il est ouvert dans la topologie faible, donc $U\cap B$ est non-vide. Soit $e_n\in U\cap B$. Je veux montrer que $e_n=x_0$. Or, maintenant je ne sais plus comment procéder. J'ai l'idée de montrer en utilisant des estimations que $\langle e_n-x_0,e_n-x_0\rangle $ est nul, mais ceci ne me mène nulle part.
Toute aide serait la bienvenue.
Je fais face à l'exercice suivant en analyse fonctionnelle.
Soit $H$ un espace de Hilbert de dimension infinie muni d'un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$. Soit $B=\{e_n\}$ une base orthonormée. Soit $\overline{B}$ la clôture de $B$ pour la topologie faible.
J'ai démontré que $0\in \overline{B}$. Je dois démontrer que $\overline{B}=B\cup \{0\}$. Soit $x_0\in \overline{B}$ non-nul. On me donne l'indice de considérer le voisinage suivant de $x_0$ : $U=\{x\in H \mid \langle x-x_0,x_0\rangle < (1-\frac{1}{\sqrt{2}})\langle x_0,x_0\rangle \}$. Il est ouvert dans la topologie faible, donc $U\cap B$ est non-vide. Soit $e_n\in U\cap B$. Je veux montrer que $e_n=x_0$. Or, maintenant je ne sais plus comment procéder. J'ai l'idée de montrer en utilisant des estimations que $\langle e_n-x_0,e_n-x_0\rangle $ est nul, mais ceci ne me mène nulle part.
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Réponses
JLT, pouvez-vous développer ? J'ai montré ci-dessous que $U\cap B$ est fini. (Est-ce correct ?) Pourquoi cela impliquerait que $x_0$ est dans $B$ ?
On suppose que $U\cap B$ est infini, alors $U$ contient une suite extraite $(e_{n_i})_i$ de $(e_n)_n$. Comme $|\langle x_0,e_n\rangle|\stackrel{n\to\infty}{\to} 0$ (inégalité de Bessel), on a que $|\langle x_0,e_{n_i}\rangle| \stackrel{i\to\infty}{\to} 0$ (toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite). En particulier, il existe $j$ tel que $i\geq j$ implique $|\langle x_0,e_{n_i}\rangle|<\frac{1}{\sqrt{2}}\langle x_0,x_0\rangle $.
Alors pour tout $i\geq j$, $$|\langle x_0,e_{n_i}\rangle - \langle x_0,x_0\rangle| \geq |\langle x_0,x_0\rangle|-|\langle x_0,e_{n_i}\rangle|>(1-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\langle x_0,x_0\rangle,
$$ ce qui implique $e_{n_i}\not\in U$.
$U\cap B$ est un singleton. Si $e_n\ne e_m$ appartiennent à $U\cap B$ alors $||x_0||^2\geqslant |\langle x_0,e_n\rangle|^2 + |\langle x_0,e_m\rangle|^2 > \frac{1}{2}||x_0||^2+\frac{1}{2}||x_0||^2 = ||x_0||^2$, impossible.
Maintenant, dans un espace séparé, si un point $x_0$ est dans l'adhérence d'une partie $B$ et si un voisinage $U$ de $x_0$ est tel que $U\cap B$ est fini, alors $x_0\in B$.
"Dans un espace séparé $X$, si un point $x_0$ est dans l'adhérence d'une partie $B$ et si un voisinage $U$ de $x_0$ est tel que $U\cap B$ est fini, alors $x_0\in B$."
Je n'ai jamais vu ce lemme, mais il est facile à prouver:
Soit $U\cap B=\{a_1,\ldots,a_n\}$. Comme $X$ est séparé, il existe un ouvert $V$ contenant $x_0$ tel que $V\cap (U\cap
Merci, l'exercice est alors résolu.
La petite démonstration de JLT qui montre que $U\cap B$ est un singleton est jolie. Est-ce que ma démonstration ci-dessus était correcte aussi ?
La première inégalité, c'est encore l'inégalité de Bessel, $|\langle x_0,e_n|^2+|\langle x_0,e_m\rangle|^2\leq \sum_{k\geq 1} |\langle x_0,e_k\rangle|^2 \leq ||x_0||^2$. La deuxième inégalité utilise $e_n,e_m\in U$.
Le $1/\sqrt{2}$ n'est pas arbitraire : JLT l'utilise dans sa dernière inégalité : de $|\langle x_0,e_n\rangle-\langle x_0,x_0\rangle|<(1-\frac{1}{\sqrt{2}})\langle x_0,x_0\rangle$, il s'ensuit que $|\langle x_0,e_n\rangle|>\frac{1}{\sqrt{2}}\langle x_0,x_0\rangle$, d'òu $|\langle x_0,e_n\rangle|^2 > \frac{1}{2}||x_0||^2$.