Résolution d'un problème de Cauchy

Bonjour YvesM
qui est K et qui est A?

Et en français cela donne quoi ? ADVoici ce que j'ai fait, mais je n'arrive pas à déduire la solution explicite $u(t)$ pour tout $t \in [0,+\infty[$
Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Consider the problem
$$
du(t)/dt=au(t-\tau)-b u(t),
\\
u(t)=u_0, \ -\tau < t < 0.
$$ For $t \in [0,\tau)$, we consider the problem
\begin{equation}
\begin{cases}
u'(t)=-b u(t)+a u_0+\\
u(0)=u_0.
\end{cases}
\end{equation} By Duhamel Formula, the solution is
\begin{equation}
u(t)=\left(\dfrac{b-a}{b}\right)u_0 e^{-bt}+\dfrac{au_0}{b}.
\end{equation} For $t \in [\tau,2\tau)$, we consider the problem
\begin{equation}
\begin{cases}
u'(t)=-b u(t)+ a\left[\left(\dfrac{b-a}{b}\right) u_0 e^{-b(t-\tau)}+\dfrac{a u_0}{b}\right],\\[12pt]
u(\tau)= \dfrac{b-a}{b} u_0 e^{-b \tau} +\dfrac{au_0}{b}.
\end{cases}
\end{equation} By Duhamel formula, the solution is
\begin{equation}
u(t)=e^{-b(t-\tau)} \left[\left(\dfrac{b-a}{b}\right) u_0 e^{-b \tau}+ \dfrac{au_0}{b}\right]
+\displaystyle\int_{\tau}^t e^{-(t-s)b} a \left[ \left(\dfrac{b-a}{b}\right) u_0 e^{-b(t-\tau)}+\dfrac{au_0}{b} \right ] ds.
\end{equation} For $t \in [2\tau,3\tau)$, we consider the problem
\begin{equation}
\begin{cases}
u'(t)=-bu(t)+au(t-\tau);\\[12pt]
u(2 \tau)= e^{-b \tau} \left[ \left(\dfrac{b-a}{b}\right) u_0 e^{-b \tau} + \dfrac{a u_0}{b}\right]+\displaystyle\int_{\tau}^{2\tau} e^{-(2 \tau-s)b} a \left[\left(\dfrac{b-a}{b}\right) u_0 e^{-b \tau} + \dfrac{au_0}{b} \right],
\end{cases}
\end{equation} where
\begin{equation}\label{1}
u(t-\tau)=e^{-b(t-2\tau)} \left[\left(\dfrac{b-a}{b}\right)u_0 e^{-b \tau}+\dfrac{au_0}{b}\right]+
\displaystyle\int_{\tau}^{t-\tau} e^{-(t-\tau-s)b} a \left[ \left(\dfrac{b-a}{b}\right) u_0 e^{-b(t-2\tau)} + \dfrac{au_0}{b}\right] ds.
\end{equation} By Duhamel formula, the solution is
\begin{equation}
u(t)=e^{-(t-2\tau)b} u(2\tau) + \displaystyle \int_{2\tau}^t e^{-(t-s)b} u(t-\tau) ds,
\end{equation}