Bonsoir à tous
Svp comment peut-on montrer que le premier chiffre après la virgule de $\sqrt{n^2+n}$ est $4$, pour tout entier naturel non nul.
Et merci d'avance.
On a $\sqrt{n^2+n} = n \sqrt{1+\frac{1}{n}} = n\left(1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + \frac{\theta}{6n^3}\right)$ avec $\theta \in \left]\frac{3}{64 \sqrt 2}, \frac38\right[$. Je te laisse conclure.
Merci beaucoup Monsieur.
Je crois qu'il me fallait encadrer la somme $\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}+\frac{\theta}{6n^2}$ par $\frac{4}{10}$ et $\frac{5}{10}$. N'est pas ?
@pourtos : D'ailleurs je me suis emballé, pas besoin de pousser à l'ordre $3$, l'ordre $2$ devrait suffire, ce qui compte c'est le signe négatif devant le $\frac{\theta}{8n}$. Les autres méthodes proposées sont plus élémentaires.
Variante, on considère la suite $u_{n}$ donnée par $u_{n}=\sqrt{n^{2}+n}-n$ qu'on réécrit
$$
u_{n}=\frac{1}{1+\sqrt{1+1/n}}.
$$ On voit donc facilement que
1) $u_{n}$ est strictement croissante
2) $u_{n}<\frac{1}{2}$
Je conclus que pour tout $n\geq1$ on a $u_{1}=\sqrt{2}-1=0.4\ldots<u_{n}<0.5$ donc $u_{n}$ commence par $0.4$ et comme $n$ est entier on répond à la question.
Réponses
Je crois qu'il me fallait encadrer la somme $\frac{1}{2}-\frac{1}{8n}+\frac{\theta}{6n^2}$ par $\frac{4}{10}$ et $\frac{5}{10}$. N'est pas ?
utiliser les expressions conjuguées pour obtenir les signes de $\sqrt{n^2+n}-(n+4/10)$ et $\sqrt{n^2+n}-(n+5/10)$.
edit: croisé avec Jandri, c'est presque la même méthode
$$
u_{n}=\frac{1}{1+\sqrt{1+1/n}}.
$$ On voit donc facilement que
1) $u_{n}$ est strictement croissante
2) $u_{n}<\frac{1}{2}$
Je conclus que pour tout $n\geq1$ on a $u_{1}=\sqrt{2}-1=0.4\ldots<u_{n}<0.5$ donc $u_{n}$ commence par $0.4$ et comme $n$ est entier on répond à la question.