Calcul d'une série avec fraction rationnelle
dans Analyse
Bonsoir
Je dois déterminer la nature de la série de terme $u_{n}=\dfrac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$.
On a $u_{n}=\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}$.
$u_{n}$ est positif et équivalent à $\dfrac{3}{n^3}$, donc la série est convergente.
Je cherche maintenant la valeur de la somme.
$u_{n}=\dfrac{6}{n}+\dfrac{6}{n+1}-\dfrac{24}{2n+1}$ donc $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_{k}=6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$
Là j'étais bloqué, j'ai finalement essayé de faire apparaître la somme des $ \dfrac{1}{2k}$.
\begin{align*}
S_{n}&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+12\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=2}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}-24\sum_{k=n+1}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
\end{align*} Bon et là je ne vois plus trop quoi faire, merci de votre aide...
Je dois déterminer la nature de la série de terme $u_{n}=\dfrac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$.
On a $u_{n}=\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}$.
$u_{n}$ est positif et équivalent à $\dfrac{3}{n^3}$, donc la série est convergente.
Je cherche maintenant la valeur de la somme.
$u_{n}=\dfrac{6}{n}+\dfrac{6}{n+1}-\dfrac{24}{2n+1}$ donc $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_{k}=6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$
Là j'étais bloqué, j'ai finalement essayé de faire apparaître la somme des $ \dfrac{1}{2k}$.
\begin{align*}
S_{n}&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+12\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=2}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}-24\sum_{k=n+1}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
\end{align*} Bon et là je ne vois plus trop quoi faire, merci de votre aide...
Réponses
-
Je n’ai pas vérifié les calculs, mais tu peux exprimer la dernière somme avec la suite des sommes partielles de la série harmonique et utiliser son développement asymptotique pour conclure si tu le connais.
Sinon, avec un changement d’indice, tu peux remarquer que la dernière somme est en fait une somme de Riemann.. -
merci MrJ
Effectivement j'ai réussi à conclure avec la série harmonique et on obtient $S=18-24\ln (2)$
Par contre je ne vois pas comment faire apparaître la somme de Riemann et est ce que cela permet de trouver la limite ?
Tout cela me paraît bien bourrin, n'y a-t-il pas une méthode plus rapide ? -
Ta dernière somme se réécrit à peu de chose près $\displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k+n}}$. En remarquant qu’il s’agit d’une somme de Riemann, tu obtiens qu’elle converge vers $\ln(2)$.
À ma connaissance, on ne peut pas vraiment éviter les calculs dans cet exercice. -
Ok encore merci MrJ
-
bonjour Jean-Charles
ta décomposition de la fraction rationnelle est la bonne soit
$u_n = \frac{6}{n} + \frac{6}{n+1} - \frac{24}{2n+1}$
on essaie d'expliciter $S_n = \Sigma_1^nu_k$
soit $S_n= \Sigma_1^nu_k = 6\Sigma_1^n\frac{1}{k} +6\Sigma_1^n\frac{1}{k+1} -24\Sigma_1^n\frac{1}{2k+1}$
on pose $H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +...........+1/n$ somme harmonique des n premiers nombres entiers naturels
et $H_i(n) = 1 + 1/3 + 1/5 +...........+ 1/(2n-1)$ somme harmonique des n premiers nombres entiers impairs
on connaît la relation $H_i(n) = H_{2n} - \frac{1}{2}H_n$ et donc :
$S_n = 6H_n + 6(H_{n+1} - 1) - 24 (H_i(n) - 1)$ soit encore :
$S_n = 6H_n + 6H_n + 6/(n+1) - 6 - 24( H_{2n} - \frac{1}{2}H_n - 1)$ ou encore :
$S_n = 24 H_n - 24H_{2n} + 6/(n+1) - 6 +24$ et donc ta somme $S_n$ explicitée est :
$S_n = 18 + 6/(n+1) - 24 [1/(n+1) + 1/(n+2) +.........+ 1/(2n)]$
la dernière somme algébrique 1/(n+1) + 1/(n+2) + ..........+ 1/(2n) = 1/n[1/(1+ 1/n) + 1/(1+2/n) + ..........+ 1/(1 + n/n)]
est une somme de Riemann dont la limite à l'infini est $\int_0^1\frac{1}{x+1}dx = ln(1+x)$ à prendre entre 0 et 1 soit ln2
et donc la série converge bien vers 18 - 24ln2 = 1,3644.....
cordialement -
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}=\int_0^1 \dfrac{1-x^n}{1-x}dx$
Ce qui permet de transformer $\displaystyle \sum_{k=m}^n \dfrac{1}{k}$ en intégrale.
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