Calcul d'une série avec fraction rationnelle
dans Analyse
Bonsoir
Je dois déterminer la nature de la série de terme $u_{n}=\dfrac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$.
On a $u_{n}=\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}$.
$u_{n}$ est positif et équivalent à $\dfrac{3}{n^3}$, donc la série est convergente.
Je cherche maintenant la valeur de la somme.
$u_{n}=\dfrac{6}{n}+\dfrac{6}{n+1}-\dfrac{24}{2n+1}$ donc $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_{k}=6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$
Là j'étais bloqué, j'ai finalement essayé de faire apparaître la somme des $ \dfrac{1}{2k}$.
\begin{align*}
S_{n}&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+12\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=2}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}-24\sum_{k=n+1}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
\end{align*} Bon et là je ne vois plus trop quoi faire, merci de votre aide...
Je dois déterminer la nature de la série de terme $u_{n}=\dfrac{1}{1^2+2^2+\cdots+n^2}$.
On a $u_{n}=\dfrac{6}{n(n+1)(2n+1)}$.
$u_{n}$ est positif et équivalent à $\dfrac{3}{n^3}$, donc la série est convergente.
Je cherche maintenant la valeur de la somme.
$u_{n}=\dfrac{6}{n}+\dfrac{6}{n+1}-\dfrac{24}{2n+1}$ donc $S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}u_{k}=6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}+6\sum_{k=2}^{n+1} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$.
Donc $S_{n}=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}$
Là j'étais bloqué, j'ai finalement essayé de faire apparaître la somme des $ \dfrac{1}{2k}$.
\begin{align*}
S_{n}&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=6+ \dfrac{6}{n+1}+12\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}+12\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k+1}-24\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{2k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}+24\sum_{k=2}^{n} \dfrac{1}{k}-24\sum_{k=2}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
&=18+ \dfrac{6}{n+1}-24\sum_{k=n+1}^{2n+1} \dfrac{1}{k} \\
\end{align*} Bon et là je ne vois plus trop quoi faire, merci de votre aide...
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Réponses
Sinon, avec un changement d’indice, tu peux remarquer que la dernière somme est en fait une somme de Riemann..
Effectivement j'ai réussi à conclure avec la série harmonique et on obtient $S=18-24\ln (2)$
Par contre je ne vois pas comment faire apparaître la somme de Riemann et est ce que cela permet de trouver la limite ?
Tout cela me paraît bien bourrin, n'y a-t-il pas une méthode plus rapide ?
À ma connaissance, on ne peut pas vraiment éviter les calculs dans cet exercice.
ta décomposition de la fraction rationnelle est la bonne soit
$u_n = \frac{6}{n} + \frac{6}{n+1} - \frac{24}{2n+1}$
on essaie d'expliciter $S_n = \Sigma_1^nu_k$
soit $S_n= \Sigma_1^nu_k = 6\Sigma_1^n\frac{1}{k} +6\Sigma_1^n\frac{1}{k+1} -24\Sigma_1^n\frac{1}{2k+1}$
on pose $H_n = 1 + 1/2 + 1/3 +...........+1/n$ somme harmonique des n premiers nombres entiers naturels
et $H_i(n) = 1 + 1/3 + 1/5 +...........+ 1/(2n-1)$ somme harmonique des n premiers nombres entiers impairs
on connaît la relation $H_i(n) = H_{2n} - \frac{1}{2}H_n$ et donc :
$S_n = 6H_n + 6(H_{n+1} - 1) - 24 (H_i(n) - 1)$ soit encore :
$S_n = 6H_n + 6H_n + 6/(n+1) - 6 - 24( H_{2n} - \frac{1}{2}H_n - 1)$ ou encore :
$S_n = 24 H_n - 24H_{2n} + 6/(n+1) - 6 +24$ et donc ta somme $S_n$ explicitée est :
$S_n = 18 + 6/(n+1) - 24 [1/(n+1) + 1/(n+2) +.........+ 1/(2n)]$
la dernière somme algébrique 1/(n+1) + 1/(n+2) + ..........+ 1/(2n) = 1/n[1/(1+ 1/n) + 1/(1+2/n) + ..........+ 1/(1 + n/n)]
est une somme de Riemann dont la limite à l'infini est $\int_0^1\frac{1}{x+1}dx = ln(1+x)$ à prendre entre 0 et 1 soit ln2
et donc la série converge bien vers 18 - 24ln2 = 1,3644.....
cordialement
Ce qui permet de transformer $\displaystyle \sum_{k=m}^n \dfrac{1}{k}$ en intégrale.