Développement limité dans une intégrale

Moufle2mer · October 2021

Bonjour à tous
Je bute sur le problème suivant.

Soit $\alpha$ un réel strictement positif, déterminer la nature de la série de terme général $$u_n = \int_{0}^{(-1)^n/n^{\alpha}}{\dfrac{\sqrt{|x|}}{1+x}\text{d}x}.

$$ La correction propose directement un développement limité de $\dfrac{\sqrt{|x|}}{1+x}$ en $0$, puis injecte ce développement dans l'intégrale pour calculer ces dernières. Une fois cela fait, l'étude de la convergence se fait rapidement.
J'ai du mal à saisir comment on peut proposer un tel développement alors que $x \in \,]0;(-1)^n/n^{\alpha}[$ sans plus de justification.
En vous remerciant pour votre aide.

Poirot · October 2021

Si tu disposes d'un développement valable sur un intervalle $I$ contenant $0$ dans son intérieur, il est clair que celui-ci est valable pour $x$ entre $0$ et $\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}$ (noter que cette dernière quantité est alternativement inférieure et supérieure à $0$) pour $n$ suffisamment grand puisque $\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

bisam · October 2021

Si $f$ est la fonction $x\mapsto \frac{\sqrt{|x|}}{1+x}$ et $F$ la primitive de $f$ qui s'annule en $0$ alors on peut obtenir un DL de $F$ à l'ordre $p+1$ au voisinage de $0$ en intégrant terme à terme un DL de $f$ à l'ordre $p$ en $0$.

Dans ton cas, puisque $u_n=F(\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}})$ et que $\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini, on en déduit un développement asymptotique de $u_n$.

Moufle2mer · October 2021

Merci à tous les deux pour vos réponses.

C'est plus clair.

Je bloquais aussi sur "a-t-on le droit de prendre la limite de cette intégrale sans justification ?". Car je comprenais bien que, comme l'expliquait Poirot, on pouvait proposer un DL dans la mesure où, pour $n$ assez grand, nous étions au voisinage de $0$. Mais il me semblait que le passage à la limite devait être justifié. Ici, la fonction étant continue sur l'intervalle fermé considéré, en fait il n'y avait pas besoin de justifier (mis à part peut-être dire que "la fonction est continue sur l'intervalle fermé, on peut prendre la limite").

Ce qui, dans la méthode de bisam, se traduirait par : "est-ce que la primitive $F$ existe / est définie au voisinage de zéro ?".