Approximation de fonctions continues

tylnx · October 2021

Bonjour à tous
Je lis une affirmation dans un livre et je ne comprends pas. On me dit

" Comme $f$ est contiue en $x_0$, alors $f(x_0+\theta h)=f(x_0)+ \varepsilon(h)$ , où $\varepsilon(h) \to 0$ quand $h\to 0$. "

PS : $\theta \in\, ]0, 1[$.

Quelqu'un peut-il me donner une démonstration de cette affirmation ?
Merci d'avance.

JLapin · October 2021

En fait, ton bouquin te dit qu'il existe une fonction $\varepsilon$ telle que...
Justification : on pose $\varepsilon(h)=...$ et ...

Poirot · October 2021

Que dire de la limite en $0$ de $h \mapsto f(x_0+\theta h) - f(x_0)$ ? C'est un simple jeu d'écriture. Le même jeu qui mène à : si $f$ est dérivable en $x$ alors on a $f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \varepsilon(h)$ où $\varepsilon(h) \underset{h \to 0}{\to} 0$.

tylnx · October 2021

JLapin je ne comprends pas ce que tu dis.

tylnx · October 2021

Poirot , on sait que la fonction que tu définis tend vers 0 quand h tensd vers 0. Mais je ne vois pas comment ça aide pour arriver au résultat. Quand f est dérivable , je vois bien que c'est Taylor à l'ordre 1. Mais on a juste la continuité ici.

noobey · October 2021

Hello ! Comme Poirot et JLapin l'ont déjà dit, si epsilon existe, que vaut epsilon en fonction de $f, x_0, \theta, h$?

Poirot · October 2021

Dire que $f(x_0+\theta h)=f(x_0)+ \varepsilon(h)$ ce ne serait pas la même chose que dire que $\varepsilon(h) = f(x_0+\theta h)-f(x_0)$ par hasard ? Et dans cette dernière formule, dire que le morceau droite tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$, ce ne serait pas la même chose que dire que le morceau de gauche tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ par hasard ?