$f(x,y)$ n'admet pas de limite !
Salut à tous
En général, pour monter qu'une fonction de deux variables $f(x,y)$ qu'elle n'admet pas de limite il suffit de trouver une direction $y=\varphi(x)$ (ou $x=\varphi(y)$) pour la quelle la fonction $f(x,\varphi(x)$ n'admet pas de limite. Existe-t-il donc une méthode pour choisir cette direction ?
Par exemple, soit $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$, pour $y=x^4-x$ on obtient $f(x,x^4-x)=x^2-\frac{1}{x}$. D'où $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ x+y\neq 0}}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ n'existe pas.
Pourquoi le choix de la direction $y=x^4-x$ et est-ce qu'on a des méthodes générales pour ces choix.
Merci d'avance.
En général, pour monter qu'une fonction de deux variables $f(x,y)$ qu'elle n'admet pas de limite il suffit de trouver une direction $y=\varphi(x)$ (ou $x=\varphi(y)$) pour la quelle la fonction $f(x,\varphi(x)$ n'admet pas de limite. Existe-t-il donc une méthode pour choisir cette direction ?
Par exemple, soit $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$, pour $y=x^4-x$ on obtient $f(x,x^4-x)=x^2-\frac{1}{x}$. D'où $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ x+y\neq 0}}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ n'existe pas.
Pourquoi le choix de la direction $y=x^4-x$ et est-ce qu'on a des méthodes générales pour ces choix.
Merci d'avance.
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Réponses
Pour des fractions rationnelles comme tu as ici, une méthode souvent efficace est d’utiliser les coordonnés polaires.
Merci à tous (tu)
Toujours dans le même contexte: "une fonction de deux variable n'admet pas de limite". Est-ce que l'astuce suivante est juste ?
Pour des fractions rationnelles, on choisit la direction $y=x$ et on compare les degrés des deux polynômes $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (du numérateur et dénominateur) et si $\deg P>\deg Q$, $f(x,y) =\frac{P(x)}{Q(x)}$ admet une limite en $0$, sinon $f$ n'en admet pas ?
Merci d'avance.
On peut avoir deg(P)=deg(Q) et avoir une limite quand même. C'est le cas si P(x,y)=Q(x,y), par exemple!
Comme dit Magnolia il faut plutôt deg(Q) > deg(P) pour avoir un résultat (qui est négatif).
Il faut au minimum rajouter que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.
Cordialement.