$f(x,y)$ n'admet pas de limite !
Salut à tous
En général, pour monter qu'une fonction de deux variables $f(x,y)$ qu'elle n'admet pas de limite il suffit de trouver une direction $y=\varphi(x)$ (ou $x=\varphi(y)$) pour la quelle la fonction $f(x,\varphi(x)$ n'admet pas de limite. Existe-t-il donc une méthode pour choisir cette direction ?
Par exemple, soit $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$, pour $y=x^4-x$ on obtient $f(x,x^4-x)=x^2-\frac{1}{x}$. D'où $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ x+y\neq 0}}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ n'existe pas.
Pourquoi le choix de la direction $y=x^4-x$ et est-ce qu'on a des méthodes générales pour ces choix.
Merci d'avance.
En général, pour monter qu'une fonction de deux variables $f(x,y)$ qu'elle n'admet pas de limite il suffit de trouver une direction $y=\varphi(x)$ (ou $x=\varphi(y)$) pour la quelle la fonction $f(x,\varphi(x)$ n'admet pas de limite. Existe-t-il donc une méthode pour choisir cette direction ?
Par exemple, soit $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$, pour $y=x^4-x$ on obtient $f(x,x^4-x)=x^2-\frac{1}{x}$. D'où $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ x+y\neq 0}}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$ n'existe pas.
Pourquoi le choix de la direction $y=x^4-x$ et est-ce qu'on a des méthodes générales pour ces choix.
Merci d'avance.
Réponses
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On teste. Le mieux est de trouver deux directions contradictoires plutôt qu'une fonction élaborée qui n'a pas de limite.
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Je pense qu’Il’y a une erreur dans ton exemple : ta fonction me paraît admettre une limite nulle en l’origine.
Pour des fractions rationnelles comme tu as ici, une méthode souvent efficace est d’utiliser les coordonnés polaires. -
MrJ a raison : on le voit en majorant $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ par $1$ dans la valeur absolue de $f(x,y)$.
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@MrJ, oui peut-être il y a une erreur (j'ai juste recopié l'exemple sans refaire les calculs). Donc, comme @Riemann_lapins_cretins a dit, on teste donc pour trouver deux directions contradictoires.
Merci à tous (tu) -
Salut à tous,
Toujours dans le même contexte: "une fonction de deux variable n'admet pas de limite". Est-ce que l'astuce suivante est juste ?
Pour des fractions rationnelles, on choisit la direction $y=x$ et on compare les degrés des deux polynômes $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (du numérateur et dénominateur) et si $\deg P>\deg Q$, $f(x,y) =\frac{P(x)}{Q(x)}$ admet une limite en $0$, sinon $f$ n'en admet pas ?
Merci d'avance. -
Aucune idée??
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Bonjour
On peut avoir deg(P)=deg(Q) et avoir une limite quand même. C'est le cas si P(x,y)=Q(x,y), par exemple! -
C'est le genre de règle qui ne permet pas de dire si f a bien une limite mais seulement de dire si elle n'en a pas.
Comme dit Magnolia il faut plutôt deg(Q) > deg(P) pour avoir un résultat (qui est négatif). -
Même pas. Par exemple $\frac{x-y}{x^3-y^3+x y^2-y x^2-y+x}$ a bien une limite en $(0,0)$. La méthode de Zakariae ne fonctionne pas, d'ailleurs.
Il faut au minimum rajouter que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux.
Cordialement. -
Ok merci beaucoup
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Bonjour!
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