Comportement quotient reste / terme général

Bonjour à tous,

soit $\sum_n u_n$ une série convergente à termes positifs. Soit $R_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty u_k$ son reste, qui tend vers 0. Je cherche des conditions suffisantes non triviales pour que la suite $\frac{R_n}{u_n}$ soit bornée.
C'est clairement le cas si $u_{n+1} \leq \lambda u_n$ pour tout $n$ avec $\lambda < 1$, mais il y a aussi des exemples où $\frac{R_n}{u_n} \rightarrow \infty$ (par exemple si $u_n = \frac{1}{n^2}$).
Y a-t-il des résultats connus à ce sujet ?
Merci d'avance.