Algorithme du point fixe

Bonjour, je suis un peu lent au travail. En lisant l'idée de @gerard0 j'ai travaillé sur cette première partie comme il l'a suggéré.
$$
e^{1.02x}-0.9x^{2}+2.98x-1.95=0
\\
\underbrace{\Big(-\frac{1}{2.98}\Big)e^{1.02x}+\Big(\frac{0.9}{2.98}\Big)x^{2}+\Big(\frac{1.95}{2.98}\Big)}_{=g(x)}=x.

$$ D'après la fonction $g$, nous savons que

• $g\in \mathcal{C}[0;1]$
• $g'(x)=\left(-\frac{1.02}{2.98}\right)e^{1.02x}+2\left(\frac{0.9}{2.98}\right)x$
• Nous voulons vérifier : $\exists L\in\, ]0;1[, \quad |g'(x)|\leqslant L$. Un graphique de la fonction $g'$ montre que $\forall x\in [0;1],\ |g'(x)|<1$.
• Nous définissons $\displaystyle L=\max_{x\in [0;1]}|g'(x)|$.
• Alors, les hypothèses de convergence du théorème du point fixe sont satisfaites et donc
  $$\forall n\geqslant 1, \quad x_{n}=g(x_{n-1}), \quad x_{0}\in [0;1].
  $$
• L'itération fonctionnelle montre que
  $$x_{0}=0, \quad x_{1}=g(x_{0})=g(0)=\Big(-\frac{1.02}{2,98}\Big),\quad x_{2}=g(x_{1}),\ \ldots, \quad x_{N}=g(x_{N-1}),\ \ldots
  $$
• Nous pouvons connaître le nombre minimum d'itérations requises par le contrôle
  $$
  N \geqslant \frac{1}{\ln(1/L)}\ln\left( \frac{|x_{1}-x_{0}|}{\varepsilon_{1}(1-L)} \right), \quad \varepsilon_{1}=10^{-4}
  $$

Comment puis-je prouver formellement qu'un tel $L$ existe ? Ma vérification s'est faite à l'aide de Geogebra, mais j'aimerais rechercher une méthode plus rigoureuse, si possible. Je sais que $g$ est continue et donc que $g'([0,1])$ atteint son minimum et son maximum. Alors, est-il correct de faire $L=g'(1)$ ?
Merci.