Point fixe (analyse numérique)
dans Analyse
Soit la fonction $g: \mathbf{R}\to \mathbf{R}$ définie par
$$g(x):= 2-(1+\alpha)x+\alpha x^{3}, \quad \alpha \in \mathbf{R}.
$$ avec un point fixe $x^{*}=1$. Trouvez les valeurs de $\alpha$ qui garantissent que l'itération
$$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad n\in \mathbf{Z}_{+}
$$
$$g(x):= 2-(1+\alpha)x+\alpha x^{3}, \quad \alpha \in \mathbf{R}.
$$ avec un point fixe $x^{*}=1$. Trouvez les valeurs de $\alpha$ qui garantissent que l'itération
$$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad n\in \mathbf{Z}_{+}
$$
- converge vers $x^{*}=1$.
- converge linéairement vers $x^{*}=1$.
- converge de façon quadratique vers $x^{*}=1$.
Réponses
-
Ça m'a l'air de dépendre de $x_0$. Plus précisément, pour chaque $\alpha$ on peut trouver des $x_0$ pour lesquels la suite diverge.
Une convergence linéaire, c'est à la vitesse d'une suite géométrique ? ou à la vitesse d'un $n^{-a}$ ?
Addendum : pour $\alpha>0$, il y a au moins un autre point fixe que $1$. Si $x_0$ est ce point fixe, la suite est constante. L'énoncé n'est pas précis ! -
Bonjour
Je connais le résultat suivant.
Si $g\in \mathcal{C}^{2}[a;b]$ avec un point fixe $x^{*}\in [a;b]$ et la méthode numérique associée est donnée par $$x_{n+1}=g(x_{n}), \quad \forall n\in \mathbb{N}, \quad (**). $$ Ensuite,
- Si $|g'(x^{*})| <1 $, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins linéairement convergente.
- $g'(x^{*})=0$, alors la méthode numérique $(**)$ est au moins quadratiquement convergente.
- $g\in \mathcal{C}^{2}[0;1]$ et $|g'(x^{*})|=|g'(1)|=|2\alpha-1|<1 \iff \alpha \in \,]0;1[$.
- $g\in \mathcal{C}^{2}[0;1]$ et $g'(x^{*})=g'(1)=2\alpha-1 =0 \iff \alpha =\frac{1}{2}$.
Est-ce correct ? -
Bonjour
Non ce n'est pas correct. Car la convergence vers $x^*=1$ n'est pas assurée. Le choix de $x_0$ joue un rôle important.
Par exemple prends $a=1/2$, et $x_0=0$,
la suite $(x_n)$ diverge... -
Cela devient correct si on ajoute une clause « et si $x_0$ est assez proche de $x^*$ ».
-
Merci pour votre commentaire Math Coss . Vous avez raison, $x_0$ doit être suffisamment proche de $x^{*}$ pour que les hypothèses du théorème du point fixe soient remplies et que ma solution soit transparente. Je l'avais en tête, mais je ne l'ai pas écrit.
-
De toute façon même en choisissant $x_0$ assez proche de 1 (d'ailleurs cela ne sera pas assez précis car je pense que l'énoncé demande un peu plus de précision que cela)
mais ce que que tu as écrit n'est toujours pas correct.
Ton travail est un peu léger.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 63 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 313 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres