Décomposition en éléments simples

Quand tu as un pôle double, moralement tu as une expression de la forme

$f(z)= \dfrac{p(z)}{(z-a)^2}$ et $p(a)\neq 0$


donc $f(z)=\dfrac{s_1}{(z-a)^2} +\dfrac{s_2}{(z-a)} + g(z)$ avec g n'ayant pas le pôle a.

Une fois obtenu $s_1,$ pour obtenir $s_2$ on peut surement calculer de différentes façons

mais de façon générale tu as $f(z)-\dfrac{s_1}{(z-a)^2}$ qui ne possède plus que a comme pôle simple

et tu peux ainsi calculer $s_2$ puisque il est le pôle simple de cette nouvelle expression.

Sinon encore plus généralement tu as

$f(z)=\dfrac{p(a)}{(z-a)^2} +\dfrac{p'(a) }{(z-a)} + g(z)$

ainsi calculer $s_1$ c'est calculer $p'(a).$


Dans ton cas il faut commencer les calculs pour voir la façon la + simple pour obtenir $s_2$

Si tu prends l'expression de $f(z)$ ci-dessus. Par exemple, tu peux multiplier par $(z-a)^2$ et tu dérives, (ce qui permet d'éliminer $s_1$ ). Il reste à faire tendre $z$ vers $a$ et la limite est $s_2$.

C'est-à-dire que le terme que tu cherches est la limite de la dérivée de $(z-p_k)^2/(z^n-p)^2$ quand $z$ tend vers $p_k$ .