Définitions limites de fonction en terminale
Bonjour :-)
Quelles définitions des différents types de limites d'une fonction réelle d'une variable réelle donner en terminale ?
J'étais parti sur ça :
Cela vous paraît-il convenable ?
Quelles définitions des différents types de limites d'une fonction réelle d'une variable réelle donner en terminale ?
J'étais parti sur ça :
- Limite infinie à l'infini.
- On dit qu'une fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand en valeur absolue et positif (resp. négatif).
On note alors $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty }f(x)=+\infty$ (resp. $\displaystyle\lim\limits_{x \to -\infty }f(x)=+\infty$). - On dit qu'une fonction $f$ admet pour limite $-\infty$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]{-}\infty,B[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand en valeur absolue et positif (resp. négatif).
On note alors $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty }f(x)=-\infty$ (resp. $\displaystyle\lim\limits_{x \to -\infty }f(x)=-\infty$).
- On dit qu'une fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand en valeur absolue et positif (resp. négatif).
- Limite finie à l'infini. On dit qu'une fonction $f$ admet pour limite $\ell\in\R$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand en valeur absolue et positif (resp. négatif).
On note alors $\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty }f(x)=\ell$ (resp. $\displaystyle\lim\limits_{x \to -\infty }f(x)=\ell $). - Limite infinie en un réel.
- On dit que qu'une fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ en $x_0\in\R$ si tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $x_0$.
On note alors $\displaystyle\lim\limits_{x \to x_0 }f(x)=+\infty$. - On dit que qu'une fonction $f$ admet pour limite $-\infty$ en $x_0\in\R$ si tout intervalle de la forme $]{-}\infty,B[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $x_0$.
On note alors $\displaystyle\lim\limits_{x \to x_0 }f(x)=-\infty$.
- On dit que qu'une fonction $f$ admet pour limite $+\infty$ en $x_0\in\R$ si tout intervalle de la forme $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $x_0$.
- Limite finie en un réel. On dit qu'une fonction $f$ admet pour limite $\ell\in\R$ en $x_0\in\R$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment proche de $x_0$.
Cela vous paraît-il convenable ?
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Réponses
En fait j'élude les problèmes de définition de $f$, comme cela semble être courant à ce niveau.
Je vais rajouter que $f$ doit être définie au voisinage de $\pm \infty$ ou $x_0$.