Inégalité de convexité
Bonjour
Il s'agit de prouver :
$$(a+b+c)^p \leq 3^p (a^p+b^p+c^p), \qquad a,b,c \geq 0.
$$ Cette égalité est utile dans le contexte des équations différentielles stochastiques.
$\begin{align*}
\Big(\dfrac{a+b+c}3 \Big)^p &\leq \max(a,b,c)^p \\
& \leq a^p + b^p +c ^p \\
\left(a+b+ c\right)^p & \leq 3 ^p (a^p + b^p +c ^p )
\end{align*}$
La démonstration me paraît correcte. Est-ce le cas ? Merci.
Il s'agit de prouver :
$$(a+b+c)^p \leq 3^p (a^p+b^p+c^p), \qquad a,b,c \geq 0.
$$ Cette égalité est utile dans le contexte des équations différentielles stochastiques.
$\begin{align*}
\Big(\dfrac{a+b+c}3 \Big)^p &\leq \max(a,b,c)^p \\
& \leq a^p + b^p +c ^p \\
\left(a+b+ c\right)^p & \leq 3 ^p (a^p + b^p +c ^p )
\end{align*}$
La démonstration me paraît correcte. Est-ce le cas ? Merci.
Réponses
-
Oui.
-
Merci. C’est typiquement des explications qui sont omises dans les corrections, car jugées trop élémentaires.
-
Une autre rédaction équivalente : $(a+b+c)^p \leq (3 \max(a,b,c))^p = 3^p \max(a,b,c) \leq 3^p(a^p+b^p+c^p)$.
-
Bonjour
Pour $p\geq 1$, $\quad\displaystyle {a+b+c\over 3}\leq \Big({a^p+b^p+c^p\over 3}\Big)^{1/p}.$
On gagne un facteur $3.$ -
Pour l'inégalité proposée initialement, il faudrait dire qui est $p$. Les démonstrations de cette inégalité qui ont été données ci-dessus valent pour $p$ réel positif. L'inégalité est encore vraie pour $p$ réel négatif, en supposant $a,b,c>0$ : dans la démonstration on remplace $\max$ par $\min$. Mais contrairement au titre du fil, il ne s’agit pas du tout d'une « inégalité de convexité ». C'est plutôt, pourrait-on dire, une inégalité de trivialité (:D.
La véritable inégalité de convexité, c'est celle qui a été rappelée par YvesM, qui repose sur la convexité de la fonction $x\mapsto x^p$ pour $p \ge 1$, avec condition de l’égalité pour $p>1$. -
Prolongeant le propos de YvesM, disons que si $a,b,c>0$ et $p < 1$, alors : $ {a+b+c\over 3} \ge ({a^p+b^p+c^p\over 3})^{1/p}$, pour des raisons de convexité/concavité, monotonie de la fonction $x\mapsto x^p$.
En fait, il s'agit de la moyenne d'ordre $ p$ : $\mathfrak{M}_p(a,b,c)=({a^p+b^p+c^p\over 3})^{1/p}$. La fonction $p \mapsto \mathfrak{M}_p(a,b,c)$, dûment prolongée en $0$, est croissante sur $\mathbb R$, strictement si $a,b,c$ ne sont pas tous égaux. -
"Inégalité de trivialité", c'est peut-être un tantinet exagéré, me semble-t-il.
Disons plutôt qu'il s'agit d'un corollaire de l'inégalité de Hölder, corollaire qui se généralise sous la forme
$$\left( \sum_{k=1}^n a_k \right)^{\lambda} \leqslant \max(n^{\lambda-1},1) \sum_{k=1}^n a_k^\lambda$$
où $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$ et $a_1,\dotsc,a_n , \lambda > 0$. -
En tout cas, c'est une inégalité utile pour l'étude des équations différentielles stochastiques.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres