Somme
dans Analyse
Bonjour à toutes et à tous,
j'espère que vous allez bien.
Je voudrais calculer cette somme en fonction de $n$ :
$\forall n \in \mathbb{N}, S_n = \sum_{k=0}^{n} 3^k(n-k)$. J'essaierai ensuite de généraliser en remplaçant $3$ par un nombre constant réel quelconque.
Je n'y arrive pas. J'ai essayé d'appliquer la formule suivante :
$\forall q \in \mathbb{R}, \sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$ mais "ça ne marche pas" si je puis me permettre car les "coefficients" (je ne sais comment les appeler) varient...
Vous remerciant d'avance,
Mohammed R.
j'espère que vous allez bien.
Je voudrais calculer cette somme en fonction de $n$ :
$\forall n \in \mathbb{N}, S_n = \sum_{k=0}^{n} 3^k(n-k)$. J'essaierai ensuite de généraliser en remplaçant $3$ par un nombre constant réel quelconque.
Je n'y arrive pas. J'ai essayé d'appliquer la formule suivante :
$\forall q \in \mathbb{R}, \sum_{k=0}^{n}q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$ mais "ça ne marche pas" si je puis me permettre car les "coefficients" (je ne sais comment les appeler) varient...
Vous remerciant d'avance,
Mohammed R.
Réponses
-
Dérive ta formule par rapport à $q$.
-
Pour simplifier un peu tu peux procéder au changement de variable dans la somme $m=n-k$
-
\begin{align}S_n& = \sum_{k=0}^{n} 3^k(n-k)\\
&\overset{m=n-k}=\sum_{m=0}^{n} 3^{n-m} m\\
&=3^n\sum_{m=0}^{n} 3^{-m} m\\
\end{align}
Après, on suit l'indication de GaiRequin. -
Autre méthode : \[\sum_{k=0}^n3^k (n-k)=\sum_{k=0}^n \sum_{p=k+1}^n3^k\] et on intervertit les sommes avant d'appliquer deux fois la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique.
-
C'est bon !
Merci infiniment à vous 3
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres