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Fonctions telles que $f(\lambda x) = f(x)$

Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
dans Analyse
Bonsoir à tous.
En réfléchissant à un problème j'ai été amené à devoir résoudre l'edp simple :
$$
df(x).x = 0,

$$ où $f$ est une fonction de $\mathbb{R}^{2}$ à valeurs réelles. Pas de conditions particulières ou de régularité imposée.

Sans réfléchir bien longtemps j'ai trouvé que les solutions sont les fonctions vérifiant pour tout $\lambda > 0$ : $f(\lambda x) = f(x)$.
Mais voilà... est-ce qu'on peut faire mieux en précisant quelles sont ces fonctions ou est-ce qu'on doit se contenter de cette identité ?
Je vous remercie.

Réponses

  • RenartRenart
    Sans regarder l'équation différentielle, juste la relation $f(\lambda x) =f(x)$. On a $f$ constante sur chaque demi-droite partant de l'origine. Si $f$ est continue en $0$ alors $f$ ne peut être que constante.

    Si la continuité en $0$ n'est pas imposée alors les valeurs de $f$ sur le cercle unité la déterminent entièrement et n'importe quelle fonction $g : \theta \mapsto g(\theta)$ sur le cercle qui soit $C^1$ engendrera une fonction $f$ convenable.
  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    Bah oui, je suis nigaud.
    Encore une fois merci au fantastique Mr Fox.
  • YvesMYvesM
    Bonjour,

    $f(a x)=f(x)$ pour $a>0$ a pour solution $f(x )=T(\ln x)$ ou $T(z)=T(z+\ln a)$ est une fonction périodique arbitraire.
  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    En effet Yves, ce sont les seules solutions qui me sont venues en tête et je cherchais justement comment le prouver.
  • YvesMYvesM
    Bonjour,

    Quand tu passes au logarithme tu tombes sur la définition d’une fonction périodique. C’est la démonstration.
  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    On est bien d'accord qu'on est sur $\mathbb{R}^{2}$ ?
    Sinon je ne vois pas ce que tu appelles logarithme.

    En fait les solutions qui me venaient spontanément en cherchant étaient seulement les $k \log{x} - k \log{y}$. J'avais mal lu, je pensais que tu parlais de celles-ci aussi.

    Mais Renart a répondu. Ma relation dit bien par définition qu'on peut prendre n'importe quelle fonction ne dépendant pas de sa norme. Autrement dit $f(x) = g(\frac{x}{||x||})$ avec $g$ une fonction du cercle.
  • etancheetanche
    Polycopié équations fonctionnelles
  • RenartRenart
    De rien, Patrick l'étoile de mer.

    Attention ceci dit, il faut que $g$ vérifie certaines conditions de régularité pour que la fonction $f$ associée soit différentiable (sans oublier l'absence de continuité de $f$ en $0$).
  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    Oui, c'était sous-entendu.
  • gilles bensongilles benson
    c'est ce qu'on appelle une fonction homogène de degré zéro...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    Oui, une notion souvent introduite dans un exercice immédiat et facile mais classique lors d'un cours de calcul différentiel ($f(\lambda x) = \lambda^{\alpha} f(x)$ pour tout $\lambda > 0$ ssi $df(x).x = \alpha f(x)$).
    C'est d'ailleurs grâce au souvenir de ce vieil exercice que j'ai trouvé comment résoudre ma petite edp de base.
    Mais je n'avais pas pensé qu'on pouvait caractériser les fonctions homogènes facilement, pourtant ça tombe sous le sens.
  • math2math2
    pour compléter le message de Gilles, sans doute aller voir côté de la relation d'Euler pour les fonctions homogènes différentiables (rappel, lorsque $f$ est différentiable, elle est homogène de degré $k$ si et seulement si $df(x).x=kf(x)$).
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