On a des raisons de penser que le produit a un carré intégrable ? Que le produit soit intégrable, c'est Cauchy-Schwarz, mais son carré... Pense à $1/\sqrt x$ sur $]0,1[$.
(Après, c'est sans doute justement le sens de ta question...)
Je pense plutôt à des conditions sur l'espace (genre mesure totale de cet espace), plutôt que des conditions sur les fonctions elle-mêmes. Sur quel espace te places-tu ?
Dans ce cas, tu peux appliquer Cauchy-Schwartz et comparer les normes $L^1 $ et $L^2 $ (pour cela, tu peux appliquer C-S avec une des deux fonctions constatnte).
Je sais que si $f\in L^2$ et $g\in L^2$ alors $fg\in L^1$ et que $\|fg\|_1\leq\|f\|_2\|g\|_2$, et je sais aussi que si $f\in L^4$ et $g\in L^4$ alors $fg\in L^2$ $\|fg\|_2\leq\|f\|_4\|g\|_4$. Je ne cherche pas ça ! Ma question est
"Sous quelles conditions (sur $f$ ou $g$ ou bien l'espace) on a $\ \|fg\|_2\leq\|f\|_2\|g\|_2\ ?$"
Si tu travailles sur $[0,1]$, que tes fonctions $f$ et $g$ sont à valeurs réelles et que $f^2$ et $g^2$ sont respectivement croissante et décroissante, alors ton inégalité est vraie.
Dans le cas général, ton problème manque un peu d'homogénéité pour avoir une belle solution.
La situation devient plus souple si tu autorises une constante :$ \| f g \|_p \le c \|f\|_p \|g\|_p$; en effet il existe des espaces fonctionnels de Banach non triviaux (i.e de dimension infinie) pour lesquels les normes p ($p<\infty$ sinon c’est pas possible par le lemme de Grothendieck) sont toutes équivalentes, c’est ce qu’on appelle,en gros l’hyper-contractivité. Une simple inégalité d’Holder puis l’équivalence des normes donne ce genre d’inégalités mais avec des constantes (dans ton cas tu veux 1 comme constante pour $p=2$)
Pas grand chose a dire sur ce probleme de caracterisation des paires $f,g$ positives telles que
$$\int_0^1f^pg^pdx\leq \int_0^1f^pdx\int_0^1g^pdx.$$ D'abord, pas la peine de s'embarrasser d'un $p$, meme $p=2$, puisque on se ramene trivialement au cas $p=1.$ Ensuite, si $X=f(x)$ et $Y=g(x)$ sont considerees comme des variables aleatoires de covariance $\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)
\mathbb{E}(Y)$, le probleme reel est le suivant: quelles sont les lois possibles pour un couple $(X,Y)$ de va reelles positives d'avoir une covariance negative? Ce probleme n'a pas de solution generale simple (J.Lapin mentionne ci dessus l'observation de Tchebychev).
Réponses
(Après, c'est sans doute justement le sens de ta question...)
Ma question est
"Sous quelles conditions (sur $f$ ou $g$ ou bien l'espace) on a $\ \|fg\|_2\leq\|f\|_2\|g\|_2\ ?$"
Dans le cas général, ton problème manque un peu d'homogénéité pour avoir une belle solution.
$$\int_0^1f^pg^pdx\leq \int_0^1f^pdx\int_0^1g^pdx.$$ D'abord, pas la peine de s'embarrasser d'un $p$, meme $p=2$, puisque on se ramene trivialement au cas $p=1.$ Ensuite, si $X=f(x)$ et $Y=g(x)$ sont considerees comme des variables aleatoires de covariance $\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)
\mathbb{E}(Y)$, le probleme reel est le suivant: quelles sont les lois possibles pour un couple $(X,Y)$ de va reelles positives d'avoir une covariance negative? Ce probleme n'a pas de solution generale simple (J.Lapin mentionne ci dessus l'observation de Tchebychev).