Une limite

Boécien
Boécien
dans Analyse
Je n'arrive pas à trouver cette limite
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{{{2n \choose n} \choose n}n!^{3/2}}{16^{\frac{n(n-1)}{2}}}\right)^{1/n}$$
car je dois mal utiliser les formules asymptotiques données pour les coefficients de Pascal. Si quelqu'un pouvait m'aider à dépatouiller ça!

Réponses

  • JLapin
    JLapin
    Commence par passer au logarithme puis utilise la formule de Stirling
  • Boécien
    Boécien
    J'ai commencé et obtenu
    $${{2n \choose n} \choose n}\sim\left(\frac{4^{n}e}{\sqrt{\pi}n^{3/2}}\right)^{n}\left(2\pi n\right)^{-1/2}\exp\left(-\frac{\sqrt{\pi}n^{5/2}}{2.4^{n}}\right),
    $$ mais visiblement ce n'est pas ça, ce n'est pas loin, mais ce n'est pas ça. À une constante près d'après l'ordinateur.
  • jandri
    jandri
    Ce qu'on demande n'est pas un équivalent de ${{2n \choose n} \choose n}$ mais seulement un équivalent de ${{2n \choose n} \choose n}^{1/n}$.

    JLapin a dit comment faire et avec des calculs on obtient la limite demandée : $\dfrac4{\sqrt{\pi e}}$.
  • jandri
    jandri
    Je me rends compte que j'ai fait trop de calculs !

    On a seulement besoin des équivalents $(n!)^{1/n}\sim\dfrac ne$ et $\displaystyle{2n \choose n}\sim\dfrac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$.

    Il suffit d'écrire $\displaystyle{{2n \choose n} \choose n}=\dfrac{{2n \choose n}^{n}}{n!}\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}\Bigg(1-\dfrac k{{2n \choose n}}\Bigg)$.
  • Boécien
    Boécien
    Merci Jandri, effectivement c'est plus simple comme ça le produit converge vite vers 1.
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