Fonction non continue
Réponses
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C’est pas plutôt $\lim f(x)/x$ différent de zéro que tu veux? Dans ce cas précise ta question stp, tu veux une limite non nulle de $f(x)/x$ qui donc va exister, ou bien tu veux que la limite n’existe pas?
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J'espère que ça sera plus clair comme ça
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Tu pourrais utiliser la fonction $x\mapsto \tan\left((2x-1)\dfrac{\pi}{2}\right)$ pour construire ton exemple.
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Oui, je pensais aussi à une fonction 1-périodique non bornée.
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Bonsoir,
Je pose une question un peu bête, dans l'espoir de mieux comprendre :
Soit $f:\R_+\to\R$ continue.(donc pas non-continue !)
On suppose $\lim\limits_{x\to+\infty} \big[f(x+1) - f(x)\big] = 0$.
A-t-on forcément : $\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0\qquad$ ? -
marsup, la réponse est oui. Il suffit de supposer que la fonction est bornée sur tout segment.
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Merci beaucoup !!
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Tu vas trop vite pour moi, là, Chaurien, désolé. :-S
Tu veux bien détailler un peu, s'il te plaît ? -
$\bullet $ Soit une fonction $f: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$, bornée sur tout segment, et telle que $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=0$.
$\bullet $ Soit un réel $\varepsilon >0$. Il existe un réel $A>0$ tel que $x\geq A$ implique : $\left\vert f(x+1)-f(x)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$.
Soit $K$ tel que $x\in \lbrack A,A+1]$ implique : $%
\left\vert f(x)\right\vert \leq K$.
Soit $x\geq A$ et $n=\left\lfloor
x-A\right\rfloor $, en sorte que : $n\in \mathbb{N}$ et : $n\leq x-A<n+1$, d'où : $A\leq x-n<A+1$.
On a : $\left\vert f(x-n)\right\vert \leq K$, $%
\left\vert f(x-n+1)-f(x-n)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$,..., $%
\left\vert f(x)-f(x-1)\right\vert \leq \frac{\varepsilon }{2}$, d'où par sommation :
$\left\vert f(x)\right\vert \leq K+n\frac{\varepsilon }{2}\leq K+(x-A)\frac{%
\varepsilon }{2}\leq K+x\frac{\varepsilon }{2}$.
En conséquence, pour $%
x\geq A$, on a : $\left\vert \frac{f(x)}{x}\right\vert =\frac{\left\vert
f(x)\right\vert }{x}\leq \frac{K}{x}+\frac{\varepsilon }{2}$.
Soit $B=\max(A,\frac{2K}{\varepsilon })$. Alors, pour $x\geq B$, on a : $x\geq A$ et $%
\frac{K}{x}\leq \frac{\varepsilon }{2}$, ce qui implique : $\left\vert \frac{f(x)}{x%
}\right\vert \leq \varepsilon $.
Bonne soirée.
Fr. Ch. -
Merci Chaurien, je crois que tu as raison.
Par contre, le résultat que tu viens de montrer me semble plus intéressant que son contre-exemple non-continu...
Bravo à tous les participants ! (tu) -
Est-ce que ça ressemble un peu au lemme de Cesàro ?
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Le contre-exemple est intéressant lui aussi, pour montrer que la condition « $f$ bornée sur tout segment » est indispensable. Pour ce contre-exemple, la discontinuité ne suffit pas, encore faut-il que $f$ ne soit pas bornée sur tout segment.
Notons qu'il y a un corollaire.
Si $f: \mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R$ est bornée sur tout segment, et si $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=\ell \in \mathbb R$, alors $\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=\ell$.
On pourrait appeler ceci le lemme de l'escalier, comme pour les suites. -
Si je ne me trompe, les résultats précédents restent valables pour une fonction $f$ à valeurs complexes, avec la même démonstration, sauf que $\ell \in \mathbb C$.
De plus, si $f: \mathbb R_+\rightarrow \mathbb R$ est bornée sur tout segment, et si $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=+ \infty$, alors $ \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=+\infty$. -
Et pour continuer, observons que la réciproque est fausse. On peut avoir : $\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac {f(x)}x=0$ sans que $\lim_{x \rightarrow + \infty}(f(x+1)-f(x))=0$, même pour une fonction $f$ continue, et de classe ce qu'on veut.
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Salut.
Moi je propose la fonction $f(x) = tan(\pi x)$.
Cordialement. -
Insinues-tu que je me suis embêté avec mon $2x-1$? (:P)
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Ah oui en effet Chaurien.
Ma fonction bornée $f:\R\to\R$ favorite vérifie bien $\lim\limits_{+\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$.
Pourtant, $f(x+1)-f(x)$ ne tend pas spécialement vers 0.
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