Continuité
Bonsoir, j'aimerais avoir une indication sur la question 2. J'ai l'impression que je fais une mauvaise interprétation de celle-ci.
Pour la question 1, j'ai d'abord introduit une fonction $\varphi$ tel que $\varphi$ est définie de $X$ à valeurs dans $\R$ et que $\varphi(f)=f(0)-f(1)$ cette application est continue car c'est une forme linéaire. De plus $A=\varphi^{-1}(]{-}\infty,0[)$ et comme $]{-}\infty,0[$ est ouvert, alors $A$ est aussi un ouvert.
Donc $Inte(A)=A$
Merci d'avance pour votre compréhension.
Pour la question 1, j'ai d'abord introduit une fonction $\varphi$ tel que $\varphi$ est définie de $X$ à valeurs dans $\R$ et que $\varphi(f)=f(0)-f(1)$ cette application est continue car c'est une forme linéaire. De plus $A=\varphi^{-1}(]{-}\infty,0[)$ et comme $]{-}\infty,0[$ est ouvert, alors $A$ est aussi un ouvert.
Donc $Inte(A)=A$
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
Pour la 2) tu peux utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité et la définition (si ce n'est pas celle-ci c'est une définition équivalente) de la frontière $Fr(A)=Adh(A)\cap Adh(X\setminus A)$.
Par exemple tu prends $f\in Fr(A)$ est une suite $(f_n)$ dans $A$ qui converge vers $f$ et tu regardes ce qu'il se passe avec $\phi$.
Merci
[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. ;-) AD]
En effet; on a $D_{\infty}(f_{n},f)=(\frac{1}{2})^n$ qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers $\infty$, et $D_{\infty}(\phi(f_{n}),\phi(f))=2+(\frac{1}{2})^n$ qui ne tend pas vers $0$ quand $n$ tend vers $\infty$
Merci pour ta réponse, concernant la dernière question, j'arrive à montrer que ce n'est pas un fermé mais pour la question sur l'ouvert, je n'arrive pas à affirmer ou à trouver un contre-exemple.
Puis-je avoir une indication?
PS. au cas où pour la 2) la fonction $\phi$ n'est continue qu'en $f=0$.
Je dois prouver que $B$ n'est pas un ouvert, cad, qu'il existe une fonction $g$ de $B$ telle que pour toute boule de centre $g$, la boule en question ne contient aucune fonction strictement croissante.
Ne pas être ouvert pour $B$ signifie : qu'il existe une fonction $g$ de $B$ telle que toute boule de centre $g$ contient au moins une fonction qui n'est pas dans $B$ donc qui n'est pas strictement croissante.
Je réécris mon indication en détaillant un peu plus : tu prends $g\in B$ quelconque et $r>0$. Puis tu montres qu'il existe une fonction qui n'est pas dans $B$ mais qui est dans la boule centrée en $g$ de rayon $r$. Pour ce faire tu peux regarder la suite de fonctions $(g_n)$ définie par $\forall n>0, g_n =g\cdot 1_{[0,1-1/n[} + g(1-1/n)\cdot 1_{[1-1/n,1]}$.
Tu remarqueras qu'aucune des fonctions de cette suite n'est dans $B$ car elles sont toutes constantes sur un petit intervalle. Il faut montrer que cette suite converge vers $g$ et par conséquent il y aura forcément un terme de cette suite qui tombera dans la boule de rayon $r$ centrée en $g$.
Je vais suivre l’indication pour continuer l’exercice.
Merci bien.
Édit : Oui j’avais écrit la mauvaise phrase en faisant la négation. Désolé .
On a plutôt $\lvert g_{n}(x)-g(x) \rvert=g(x)-g(1-1/n)$. Donc $\sup_{x \in [0,1]}(\lvert g_{n}(x)-g(x) \rvert)=g(1)-g(1-1/n)$.
Depuis mon téléphone.