Valeur d'une intégrale

UneQuestion · October 2021

Bonjour,

Je sais montrer que l'intégrale $\displaystyle\int_0^1\displaystyle\frac{(-1)^{\lfloor 1/ t \rfloor}}{t}dt$ converge, mais on me demande de la "calculer".
Je sais exprimer la valeur de cette intégrale comme la somme d'une série alternée convergente, mais qui ne se simplifie manifestement pas.
Pouvez-vous m'aider ?

Merci d'avance.

bd2017 · October 2021

Bonjour
Le changement de variable $u=1/t$ me semble utile.

P.S Normalement tu dois trouver $\ln(2/\pi)$

P.S Si tu as la bonne série, avec la somme partielle, tu peux la mettre sous la forme d'un log. Puis voir avec la formule de Stirling. Je pense que ça doit marcher.

Chaurien · October 2021

D'accord avec bd2017. Mais je ne fais pas de changement de variable On coupe en morceaux pour $\lfloor {1/ t} \rfloor=k$, $k \in \mathbb N^*$, et on obtient une série. Pour calculer sa somme, la formule de Wallis suffit. Je trouve aussi $ \ln (\frac 2{\pi})$.

UneQuestion · October 2021

Bonjour,

Merci pour vos réponses.
Cela marche bien avec la formule dit du produit de Wallis ou avec la formule de Stirling (ces deux résultats étant classiquement liés).

@bd2017: peux-tu préciser ce que tu envisages après ton changement de variable ?

Ce qui m'embête un peu, c'est que cet exercice a été posé tel quel (ie sans aucune autre question) à l'oral du concours Centrale - Supélec, en filière PC et les formules de Stirling et de Wallis ne sont pas explicitement au programme de cette filière, sauf erreur de ma part.
Référence de l'exercice: RMS 130ème année - Volume 2. Exercice 1082.