Calcul de limites

etanche · October 2021

Bonjour
$f$ une fonction continue de $[0;1]$ dans $\R$.
$$
u(n)=\sum_{1\leq i < j \leq n} \frac{f^3(i/n)}{n}\frac{f(j/n)}{n}
\\
w(n)=\sum_{1\leq i < j \leq n} \frac{f(i/n)}{n}\frac{f^3(j/n)}{n}

$$ Calculer les limites de $u(n) ,\, w(n)$.
Merci.

bd2017 · October 2021

Bonjour,
La fonction est bornée par M . La valeur absolue est majorée par $M /n^4\times (n-1)n/2$.

jandri · October 2021

On peut deviner que l'énoncé a été mal recopié et qu'il faut lire $n$ à la place de $n^3$.

On obtient alors $\displaystyle\iint_{0<x<y<1}f^3(x)f(y)dxdy$ pour la première limite et $\displaystyle\iint_{0<x<y<1}f(x)f^3(y)dxdy$ pour la seconde.

etanche · October 2021

@jandri oui c’est pas $n^3$ mais $n$ comme tu l’as dit merci

D’après jandri la somme de ces deux intégrales est egale à $$\int_{0}^{1}f^3(x)dx\int_{0}^{1}f(y)dy$$

jandri · October 2021

J'ai dû mal m'exprimer dans le message que j'ai adressé à etanche.

C'est la somme des deux intégrales doubles ou encore la limite de $u(n)+w(n)$ qui est égale à $\displaystyle\int_{0}^{1}f^3(x)dx\int_{0}^{1}f(y)dy$.

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