Équation fonctionnelle sur $\mathbf{R}^{+}$
dans Analyse
Bonjour,
Trouvez toutes les fonctions $f: \mathbf{R}^{+}\to \mathbf{R}^{+}$ satisfaisant la relation pour tout $x,y>0$,
$$\frac{x+y}{f(x)+f(y)}=\frac{x^{2}}{f(yf(x))}.$$
Trouvez toutes les fonctions $f: \mathbf{R}^{+}\to \mathbf{R}^{+}$ satisfaisant la relation pour tout $x,y>0$,
$$\frac{x+y}{f(x)+f(y)}=\frac{x^{2}}{f(yf(x))}.$$
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Réponses
Donc $xf(x)$ est un point fixe de $f$, pour tout $x$.
Si $x \mapsto xf(x)$ peut prendre deux valeurs, $a=xf(x)$ et $b=yf(y)$, alors $f(a)=a$ et $f(b)=b$.
Donc $(a+b)/(a+b)=a^2/f(bf(a))=a^2/f(ba)$, donc $f(ba)=a^2$
De même, $f(ab)=b^2$
Donc $a^2=b^2$ et $a=b$.
Donc $x \mapsto xf(x)$ est constante égale à $a$.
Donc $xy/a=(x+y)/(a/x+a/y)=x^2/(a/(ya/x))=xy$
Donc $a=1$. De plus $a=1$ convient et $f(x)=1/x$ pour tout $x>0$
On pose $\displaystyle g(x) = x f(x)$ pour $x>0.$
On reporte dans l'équation fonctionnelle : $\displaystyle {x+y \over \displaystyle {g(x) \over x} + {g(y) \over y}}= \displaystyle { xy g(x) \over \displaystyle g(y {g(x) \over x})}$ et on fait $x=y$ : on trouve $g(g(x)) = g(x)^2.$
Puis on reporte avec $\displaystyle x = g(t)$ et $y=1$ : on trouve une équation du second degré pour $g(t)$ selon un paramètre $g(1)$ avec une seule racine positive. Donc $g(x)$ est une constante pour tout $x>0.$
On reporte $g(x) = k$ et on trouve $k=1.$
On conclut $\displaystyle f(x) = {1 \over x}$ pour $x>0.$ La valeur $\displaystyle f(0) \geq 0$ reste arbitraire.
YvesM ta version me parait un peu plus tordue de prime abord, en tout cas je ne comprends pas immédiatement "juste en lisant".
Jusqu'à $g(g(x))=g(x)^2$ je suis d'accord. Ensuite tu parles de "reporter", dans ton équation en $g$ j'imagine.
Après simplifications, il reste : $\dfrac{g(t)+1}{g(t) + g(1)} = g(t)$, d'où ton équation du second degré. C'est élégant mais je me demande bien comment tu as fait pour trouver cette méthode.
La fonction inconnue est $f:\mathbb R_+^* \rightarrow \mathbb R_+^*$.
Pourrait-on généraliser à $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$, ou bien $f:\mathbb R^* \rightarrow \mathbb R^*$ ? D'où vient cet énoncé ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Dans ce genre d'exercices, les solutions ont une forme simple. J'essaie des fonctions simples : constante, linéaire, puissance, etc. Quand je trouve que $x \mapsto 1/x$ est une solution, je me dis que montrer que $x \mapsto x f(x)$ est constante doit être plus facile. Ici je tombe sur du second degré, c'est donc immédiat.