Groupe à un paramètre

marco · October 2021

Bonjour,

Soit $\phi$ une fonction continue de $\R^2$ dans $\R$ telle que $\phi(0,x)=x$ pour tout $x \in \R$ et $\phi(t+t',x)=\phi(t,\phi(t',x))$ pour tout $t,t',x \in \R$. Est-ce que $\phi$ est nécessairement dérivable par rapport à la première variable $t$ ?

Merci d'avance.

Frédéric Bosio · October 2021

Je pense que non. La dérivabilité par rapport à la première variable semble presque nécessiter la dérivabilité par rapport à la seconde, et je me dis qu'en intégrant des champs continus non dérivables, on devrait avoir des fonctions non dérivables par rapport à $t$.

Mais bon, je n'ai pas de contre-exemple explicite, peut-être me trompe-je.

marco · October 2021

Merci pour ta réponse. Il me semble qu'on peut avoir la dérivabilité par rapport à la première variable, sans la dérivabilité par rapport à la seconde. Par exemple, si $\phi$ est définie ainsi:
1) $\phi(t,0)=0$ pour tout $t$
2) $\phi(t,x)=e^{\alpha t}x$ si $x>0$ et $t \in \R$
3) $\phi(t,x)=e^{\beta t}x$ si $x<0$ et $t \in \R$
avec $\alpha \neq \beta$
Alors c'est dérivable par rapport à $t$ en tout $(t,x)$.
Mais ce n'est pas dérivable par rapport à $x$ en $(t,x)=(1,0)$.

Frédéric Bosio · October 2021

Oui, mais je pense que c'est parce que les positifs et les négatifs "ne se mélangent pas" et que la dérivée seconde de $\phi $
par rappport à $t$ et à $x$ (je ne sais pas dans quel ordre, il pourrait être important dans ce cas précis) est jolie en $(0,x)$ si $x \neq 0$. Si cette dérivée seconde n'existe pas, j'ai plus de mal à y croire, mais encore une fois, je ne suis sûr de rien.

Georges Abitbol · October 2021

Mmmmh, c'est vrai qu'un morphisme entre groupes de Lie qui est continu est forcément analytique. Mais là, on a un morphisme $\mathbb{R} \rightarrow Homeo(\mathbb{R})$...

Renart · October 2021

En posant $\partial_t \varphi_t(x) = 1$ si $\varphi_t(x) < 0$ et $\partial_t \varphi_t(x) = 2$ si $\varphi_t(x) > 0$ avec recollement par continuité on trouve un contre-exemple, non ? Autrement dit $\varphi$ est le flot donné par le champ de vecteurs $1+\chi_{]0;+\infty[}$.

Ou bien je rate quelque chose ?

marco · October 2021

Merci Renart, bravo. (tu)

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