Sur le lemme de Zorn

mokata
mokata
dans Analyse
Soit $X$ un espace de Banach, $M$ a est un sous-ensemble convexe fermé de $X$ et $T:M\rightarrow M$ une application continue.
Soit $K=\overline{\text{Conv}}(T(M))$.
Considérons maintenant la famille de sous-ensembles suivante de $K$ :
$$
\mathcal{F}:=\{C \subseteq K\mid C \text{ est fermé, convexe et } \mathrm{T}- \text{invariant}\}.

$$ Je veux appliquer le Lemme de Zorn à cette famille. Pour ce faire, j'ai besoin de voir si $\mathcal{F}$ a la propriété d'être inductif ?
"toute chaîne non vide possède un majorant dans $\mathcal{F}$."
Une aide avec ça ?

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Je pense que $T$ est continue. Si oui ton majorant tu l'obtiens en prenant l'adhérence de l'union des éléments de ta chaîne.
  • mokata
    mokata
    Ah je vois. Pour le fait que cet ensemble est fermé stable par $T$, c'est clair. Maintenant, pour la convexité c'est là où on doit utiliser la "total-ordonné" n'est-ce pas ?
  • raoul.S
    raoul.S
    En ce qui concerne la convexité, le "total-ordonné" te donne immédiatement que l'union des éléments de ta chaîne est convexe. Ensuite il faut utiliser le fait que l'adhérence d'un convexe est convexe.
  • mokata
    mokata
    Parfait. Je ne sais pas si vous avez un petit moment pour cette discussion ou pas. Mais bon, j'espère que c'est le cas.

    On travaille sur ce papier, Theorem $3.1$, les auteurs ont imposé une condition qui me semble "n'est pas nécessaire", la "relative faible compacité de $T(M)$" traduction de "$T(M)$ is relatively weakly compact".

    Leur preuve est basée sur Zorn, et apparemment on ne l'a pas utilisé ici.. Que pensez-vous ?
  • raoul.S
    raoul.S
    Bon j'ai regardé et en fait ils appliquent le lemme de Zorn dans l'autre sens, ceci afin d'obtenir un élément minimal (et non maximal). C'est-à-dire qu'il faut montrer que toute chaîne non vide possède un minorant.

    Et c'est pour montrer qu'il existe un minorant qu'ils ont besoin de la compacité faible.

    Plus précisément : en faisant l'intersection des éléments de la chaîne on a bien un minorant. Le problème c'est qu'il faut montrer que l'intersection est non-vide. Or étant donné que les éléments de la chaîne sont tous compacts pour la topologie faible, l'intersection ne peut pas être vide.

    Donc la compacité faible est bien utilisée.


    Edit : D'ailleurs en relisant le théorème 3.1 on s'aperçoit que $K$ est lui-même dans $\mathcal{F}$ et par conséquent appliquer directement Zorn ("à l'endroit") ne sert à rien étant donné que $K$ est déjà un élément maximal...
  • mokata
    mokata
    Vous avez raison, c'est exactement ça. Malheureusement, je n'ai pas fait attention .
    Merci infiniment.
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