Suites de fonctions

Bonsoir, je voudrais une idée sur cet exercice.

Pour tout réel $x\geq 0$ on associe la suite
$$ u_n=\frac{n!x^n}{\prod_{k=1}^n(1+kx)}.
$$ On demande de montrer pour tout réel $r>0$ on a :
$$\forall x\in[0\,,\,r],\ \forall n\geq 1,\qquad 0\leq u_n\leq\frac{r}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}.$$