Quatre familles de fonctions à intégrer

Bonjour.
Je vous propose le petit exercice suivant.

Soient $f$ et $g$ des fonctions, déterminer le maximum d'informations, idéalement une primitive exprimable sous forme close, de :
$(1) \int \frac{dx}{f(\frac{1}{x})}$
$(2) \int x \pm \frac{1}{f(\frac{1}{x})} dx$
$(3) \int f(x) \pm \frac{1}{f(\frac{1}{x})} dx$
$(4) \int g(x) \pm \frac{1}{f(\frac{1}{x})} dx$

Certaines choses sont volontairement laissées floues parce que je ne suis pas capable de les fixer sans perdre de la généralité à gauche ou à droite.

Au delà, je me demande surtout si cela évoque l'un ou l'autre exercice à quelqu'un.
Aussi, si vous avez des articles sur l'un de ces sujets, je suis preneur.
Pour ma part je n'ai pas encore trouvé quelqu'un qui ait étudié cela.
À bientôt.

[Édit : À toute fin utile, la numérotation n'est pas un signe de difficulté croissante.]