Critère positivité matrice 2x2 — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Critère positivité matrice 2x2

gamaphagamapha
dans Analyse
Bonsoir,
dans mon DM, j'ai une question qui paraît très simple. Pourtant, ça fait 1 heure 30 que je suis dessus et impossible d'arriver au bout.
Sachant que la seule définition qu'on peut utiliser, c'est celle indiquant que pour tout x dans R^n (non nul), x'Ax > 0 ( ' désignant la transposée).

J'ai déjà trouvé que a et d doivent être strictement positifs (voir image 2), mais impossible de trouver la troisième condition. J'ai essayé de créer plusieurs identités remarquables, mais on ne peut rien en déduire.
Quelqu'un aurait une idée ? Merci beaucoup :-P127220
127224

Réponses

  • etancheetanche
    Le discriminant doit être strictement négatif.
    Je te conseille Ramis Deschamps Odoux tome 2 il y a tout ce qu’il faut pour devenir un as sur les formes quadratiques.
  • gamaphagamapha
    Merci pour ta réponse etanche, on obtient donc $ ad-bc < 0 $, c'est-à-dire $ ad < bc $, je suis d'accord que c'est l'un des critères les plus simples (celui avec les valeurs propres également), mais en répondant cela je ne répondrai pas à la question posée :-S

    Edit : Pardon ! J'ai lu déterminant. Je considère le trinôme obtenu en $x_1$ ou $x_2$, de toute façon ça ne change rien vu que c'est symétrique.
  • etancheetanche
    $(b+c)^2 - 4ad<0$ je te laisse finir
  • gamaphagamapha
    Oui, merci beaucoup ça fonctionne ! J'y aurais jamais pensé vu qu'il y a 2 variables, mais en considérant $x_2$ par exemple comme une constante, on obtient un polynôme en $x_1$, de discriminant $((b+c)x_2)^2-4adx_2^2$ qui sera donc strictement négatif (et on pourra bien sûr simplifier par $x_2^2$ sans soucis de changement de sens vu qu'il est strictement positif).
    Encore merci !
  • P.P.
    Quelques irreductibles continuent a parler de definie positivite pour des matrices non symetriques. Cela embrouille pour rien les debutants (il suffit d'ecrire $S=\frac{1}{2}(A+A^T)).$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!