Complétude des fonctions 2pi-périodiques

fifi21
fifi21
dans Analyse
Bonjour à tous
Je dois montrer que l'espace des fonctions continues 2pi périodiques muni de la norme du supremum est complet.
Je sais que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue mais je ne vois pas comment prouver que le caractère périodique est conservé.
J'ai essayé avec les suites de Cauchy mais je ne vois pas non plus comment conclure sur la périodicité.

Merci par avance,
bon week-end.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est pourtant la partie la plus simple (:-D) : la convergence uniforme entraîne la convergence simple.
  • fifi21
    fifi21
    oui certes ;) et ? (je ne vois pas comment conclure ...)
  • Poirot
    Poirot
    Si pour tout $n \in \mathbb N$ et tout $x \in \mathbb R$ on a $f_n(x+2\pi)=f_n(x)$...
  • fifi21
    fifi21
    ah oui d'accord, c'est bon par passage à la limite ! Merci
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Il se passe quoi pour la fonction nulle ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Poirot
    Poirot
    @nicolas.patrois : La fonction nulle est $2\pi$-périodique, je ne comprends pas l'intérêt de ta question. On ne dit pas que $2\pi$ doit être la plus petite période.
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