Interversion série-intégrale

naima12
naima12
dans Analyse
Bonjour. L'implication suivante est elle juste ?

Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions continues positives sur $]0,1[$ alors
$$
\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)dx=\sum_{n\in\mathbb{N}}\int_0^1f_n(x)dx,

$$ où les intégrales sont des intégrales généralisées.
Merci.

Réponses

  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    En gros, quand tout est positif, on peut un peu tout inverser comme on veut. Si c'est infini d'un côté, ça l'est aussi de l'autre car on arrive à dépasser toute borne en restreignant au besoin nos fonctions.
  • naima12
    naima12
    Donc pour écrire cette égalité je n'est pas besoin d'une hypothèse de uniforme continuité de la série de fonction?
  • psychcorse
    psychcorse
    Non c'est parfaitement correct. L'égalité est vraie dans [0,+infini]

    La justification précise est le Théorème de Fubini-Tonelli pour l'espace $[0,1]\times \mathbb{N}$ muni de la tribu produit $\mathcal{B}([0,1])\otimes\mathcal{P}(\mathbb{N})$ , équipé de la mesure produit $\lambda\otimes \text{Card}(\cdot)$ appliqué à la fonction mesurable positive $g(x,n)=f_n(x)$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Naima12:
    Au pire ce qui risque d'arriver est que les deux membres soient $+\infty$.
  • Poirot
    Poirot
    Une autre justification est d'appliquer le théorème de convergence monotone (ou de Beppo Levi) à la suite des sommes partielles de la série. Ça a le mérite de ne pas nécessiter le théorème de Fubini, dont la démonstration générale est bien plus compliquée que celle du théorème de convergence monotone, qui est facile.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 29

DomMatricule_63NicoLeProfThierry Pomabiguine_equationfm_31math2raoul.Ssamok +20 Invités