Primitive de $e^{2t}/\sqrt{1+t^2}$

Marco:
Tu as besoin réellement d'une primitive ou bien veux-tu calculer une intégrale définie?
Parce que si c'est pour calculer une intégrale définie il y a peut-être un espoir. Pour une primitive je suis sceptique qu'elle s'exprime simplement.
On a envie de faire le changement de variable $t=\sinh x$ et on se retrouve à intégrer $\text{e}^{2\sinh x}$.

Si c'est pour une intégrale définie le développement en série peut servir ici et on doit avoir aussi des formules équivalentes à celles des formules pour les intégrales de Wallis dans le monde hyperbolique. A la fin, je ne sais pas si on sait sommer la série résultante de ces manipulations.

La question de Marco est de savoir si l'on peut trouver une primitive « à l'aide de fonctions connues », ce qu'on appelle une primitive élémentaire. Bien sûr tout dépend ce qu'on désigne par « fonctions connues ». Généralement, ce sont les combinaisons linéaires, produits, quotients, composées, de fonctions rationnelles, algébriques, exponentielles, logarithmes, circulaires ou hyperboliques directes ou réciproques, et c'est tout. On pourrait en rajouter d'autres, mais généralement on s'en tient là.
Mon impression est qu'il n'y a pas de telle primitive pour $\frac {e^{2t}} {\sqrt{1+t^2}}$ mais je ne sais pas le prouver.
C'est une question difficile. Sur cette question, on peut citer un article de Bernard Randé dans la RMS de 1983-84, ainsi que le problème de concours d'entrée à l'ENS - Lyon et Cachan de 1995, et d'autres références aussi, que je donnerai tantôt si besoin est.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Comme indiqué par Gai requin le résultat classique est le théorème de Liouville différentiel, ou théorème de Liouville-Rosenlicht. Mais ce théorème n'est pas simplement applicable et on se ramène souvent au corollaire suivant. Si l'on se donne une fonction $\varphi = f \exp(g)$ avec $f$ et $g$ des fractions rationnelles et si $\varphi$ admet une primitive usuelle (voir l'énoncé du théorème de Liouville-Rosenlicht pour une définition précise de ce terme) alors $\int \varphi = h \exp(g)$ pour une certaine fraction rationnelle $h$.

Prenons notre fonction $t \mapsto \frac{e^{2t}}{\sqrt{1+t^2}}$, un premier changement de variables en $u = \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ nous ramène à la recherche d'une primitive de $u \mapsto \exp(e^u- e^{-u})$. Un deuxième changement de variables en $v= e^u$ nous ramène à chercher une primitive de $v\mapsto \frac{\exp(v-\frac 1 v)}{v}$ qui est sous la forme voulue. Quelques calculs et identifications nous amènent à l'équation différentielle
\[
h'(v)+\left(1+\frac{1}{v^2}\right) h(v)= \frac{1}{v} \implies h'(v) = \frac{1}{v} - \left(1+\frac{1}{v^2}\right) h(v)
\]
et l'on cherche une solution sous la forme d'une fraction rationnelle. Supposons qu'une telle fraction rationnelle $h$ existe, puisque $h$ est non nulle on a $h \sim_\infty a v^ n$ et $h' = o_\infty(h)$ mais ceci n'est possible que si $h(v) \sim_{\infty} 1/v$ d'après l'équation différentielle de $h$. La fraction $h$ n'est donc pas un polynôme et elle admet un pole de degré $k\geq 1$ en $z\in \C$ et $h'$ admet un pôle d'ordre $k+1$ en $z$. Cependant $h'(v) = \frac{1}{v} - \left(1+\frac{1}{v^2}\right) h(v) $ admet un pôle d'ordre $k$ en $z$ si $z\neq 0$ et le pôle est d'ordre $k+2$ si $z=0$. Ceci est absurde, il n'existe donc pas de fraction rationnelle $h$ qui soit solution de l'équation différentielle.

Conclusion la fonction de marco n'admet pas de primitive sous la forme d'une fonction usuelle.


Pour une démonstration du corollaire et du théorème plus pas mal d'exemples on pourra lire le joli pdf de Denis Feldmann.

EDIT : J'avais fait une erreur dans la démonstration de la non existence de $h$, j'ai donné une nouvelle démonstration, j'espère que c'est correct maintenant.

Une petite remarque sur le message de Chaurien qu'on oublie rapidement mais qui est probablement ce qui permet le petit miracle du théorème : les deux seules fonctions nécessaires pour engendrer toutes les fonctions dites élémentaires sont le logarithme et l'exponentielle, qui en plus de ça peuvent se définir par leur dérivée.
Seulement deux cas à vérifier lorsqu'on compose pour faire marcher la récurrence, c'est très arrangeant de la part de dame algèbre.
Pour être tout à fait honnête la preuve utilise un peu plus de fonctions puisqu'en plus de ça le formalisme considère comme élémentaires les fonctions "extractions de racines" de polynômes comme élémentaires. Mais le résultat fonctionne quand même !
Un beau domaine malheureusement difficile à explorer.

Marco:
Une intégrale définie est un calcul d'intégrale avec bornes fixes.
L'exemple que tu donnes me semble compromis en ce qui concerne son calcul par la méthode à laquelle je pensais.
En effet, l'intégrale $\displaystyle \int_{-\infty}^0 \sinh x dx$ n'est pas convergente par exemple.