Bonjour sachant que $ \tan x = 2 $ calculer $ \tan 16x$. Moi, au moyen d'une formule que j'ai trouvée, j'obtiens $ \frac{-354144}{164833} $, puis-je savoir comment vous procéderiez ?
Bien sûr si quelqu'un le demande je posterai ma formule (qui est un peu longue).
a+
Fibonacci
Réponses
Je passerais à l'exponentielle.
$\sin(x)=2 \cos(x)$ donne $z=\exp(i x)=\pm \frac{1+2 i}{\sqrt{5}}$.
Puis $\tan(16x)=- i(z^{16} -1/z^{16})/(z^{16}+1/z^{16})$.
Il reste à calculer $z^2, z^4,z^8, z^{16} $ (en élevant au carré à chaque fois).
Bien que la formule soit de peu d'utilité, j'ai été heureux de voir qu'elle était juste.
Merci à tous pour votre aimable coopération..
a+
Fibonacci
$tan( 16 x)= -\dfrac{16 t \left(-1+35 t^2-273 t^4+715 t^6-715 t^8+273 t^{10}-35 t^{12}+t^{14}\right)}{1-120 t^2+1820 t^4-8008 t^6+12870 t^8-8008 t^{10}+1820 t^{12}-120 t^{14}+t^{16}}$
avec $t=tan(x)=2. $
Sauf qu'il est préférable de savoir d'où elles viennent et ne pas dire qu'elle ne sont pas utiles (car elles servent toujours à un moment où un autre).
Sauf que c'est plus long à écrire, donc plus compliqué, et chez moi, ça ne rentre pas dans la ligne, une partie n'est pas visible.
Cordialement,
Rescassol
\frac{-16 a^{15} b + 560 a^{13} b^{3} - 4368 a^{11} b^{5} + 11440 a^{9} b^{7} - 11440 a^{7} b^{9} + 4368 a^{5} b^{11} - 560 a^{3} b^{13} + 16 a b^{15}}{a^{16} - 120 a^{14} b^{2} + 1820 a^{12} b^{4} - 8008 a^{10} b^{6} + 12870 a^{8} b^{8} - 8008 a^{6} b^{10} + 1820 a^{4} b^{12} - 120 a^{2} b^{14} + b^{16}}
$$
-- Schnoebelen, Philippe
Pour tester.
PS:
Explication: la fonction lindep cherche deux entiers $a$ et $b$ tels que $a\tan\left(16\arctan(2)\right)+b$ soit le plus proche possible de $0$. La nature de la constante $\tan\left(16\arctan(2)\right)$ n'a aucune importance dans le processus puisque c'est une approximation décimale qui est considérée.
PS2:
fonction très utile quand on cherche le polynôme minimal d'un nombre algébrique.
On aurait pu utiliser plus simplement la fonction algdep: algdep(a,4);
Spoiler (sélectionnez les lignes en dessous pour faire apparaître la formule) :
$\tan(nx)=\dfrac{Im(1+i\tan(x))^n}{Re(1+i\tan(x))^n}$
P.S. hors sujet : est-ce qu'il y a une vraie balise spoiler plutôt que l'astuce du texte en blanc ?