Série numérique parametrée

Bonjour

Je dois étudier la convergence de la série numérique paramétrée suivante avec $\beta > \frac{1}{2}$ : $$u_n = 1 - \Big(\cos{\frac{1}{n^\beta}}\Big)^n.

$$ Ici, on pose $v_n=\big(\cos(\frac{1}{n^\beta})\big)^n$. Vu que $0<\frac{1}{n^\beta}<\frac{\pi}{2}$ pour tout $n$, $1>\cos{\frac{1}{n^\beta}}=v_n>0$. Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n^\beta}=0$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty}\cos{\frac{1}{n^\beta}}=1$, donc à partir d'un certain rang $N$, $\ u_n<v_n$. Maintenant, il faut étudier la convergence de $\sum v_n$.

Déjà, je distingue deux cas où $\frac{1}{n^\beta}$ diverge si $\beta\in[\frac{1}{2}, 1[$ et converge si $\beta>1$.

Je ne sais pas si je peux faire le raisonnement que si $\beta\in[\frac{1}{2}, 1[$ alors $\frac{1}{n^\beta}$ diverge alors $\sum u_n$ diverge, et parallèlement si $\beta>1$ alors $\frac{1}{n^\beta}$ converge alors $\sum v_n$ converge alors $\sum u_n$ converge.

Bonne soirée.