Boreliens réguliers
dans Analyse
Bonjour à tous,
J'ai un vrai problème sur cet exercice. Je n'arrive à rien.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Cordialement.
J'ai un vrai problème sur cet exercice. Je n'arrive à rien.
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour la 1), on va démontrer que tout ouvert est régulier. Soit $U$ un ouvert. L'énoncé dit qu'il est réunion dénombrable de fermés (au passage, sais-tu pourquoi ?). Il y a donc une famille dénombrable $(F_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de fermés telle que $U = \bigcup_n F_n$. As-tu des idées pour continuer ?
Merci pour votre aide.
Par exemple si $F$ est un fermé inclus dans $O$, alors il est clair que $\mu(F) \leq \mu(O)$ et donc par passage à la borne supérieure, $\sup \{\mu(F) \mid F \text{ fermé }, F \subset O\} \leq \mu(O)$. Avec l'indication de Georges Abitbol (que tu ferais bien de justifier) et ton idée d'utiliser la croissance, tu obtiens l'autre inégalité.
Le point ii) est encore plus immédiat.
Lemme : Soit $A$ une partie d'un espace topologique qui est réunion dénombrable de parties fermées. Alors $A$ est la réunion d'une suite croissante de fermés.
Pour l'autre inégalité, j'ai utilisé le fait que U= réunion des Fn, où Fn est une suite croissante. Donc nu(U)=nu(U Fn). De plus comme (Fn) suite croissante de fermés alors nu(U)= limite de n tend vers l'infini des nu(Fn). Mais après je ne sais pas comment faire pour montrer l'inégalité. Je suis coincée, pouvez-vous me donner une indication s'il vous plaît ?
Pour l'autre inégalité je prends O= U An où (An) est une suite croissante d'ouverts ? Et j'utilise la notion de limite ?
Cordialement.
Donc nu(O)<= nu(A) ?
est-ce cela ? Désolée mais j'ai vraiment du mal sur cet exercice.
Cordialement.
Gérard0 de quelle propriété parles-tu ? Dans notre cours on a défini la notion de mesure mais nous n'avons pas fait de lien entre mesure et borne inf et sup.
Cordialement.
Pour la borne inférieure, la définition suffit.
Cordialement.
Pour la 2)b) vous me conseillez quoi ? une récurrence ?
nu(An) est le minorant de nu(On).
Donc on a : nu(An)<=nu(On)
Or pour tout epsilon/2n positif, nu(An)+ epsilon/ 2n n'est pas un minorant (d'après def borne inf).
Donc nu(On) < nu(An) + epsilon/2^n
On obtient : nu(On) - nu(An) < nu(On\An)< epsilon/2^n
Est-ce cela ?
1) Tu ne quantifies pas.
2) Tu ne sembles pas connaître vraiment la définition de la borne inf.
Cordialement.
Tu devrais vraiment relire la définition de la borne inférieure d'un ensemble de nombres réels, il n'y a plus qu'à l'appliquer sans réfléchir pour obtenir la réponse, mais ça nécessite d'écrire précisément les choses.