Bonjour,
Je commence le cours sur la continuité. Je ne vois pas comment démontrer la remarque.
Par ailleurs, je me pose une question. Dans la définition de la continuité en $a \in A$, si $f$ est une application définie sur $A$, pourquoi on a l'hypothèse $a \in Adh(A)$ ?
Réponses
Je t'avais dit de faire des exercices ! Tu n'écoutes pas les conseils, tu t'embarques dans des considérations inutiles.
Qu'est-ce qui est faux ?
Je rappelle qu'on travaille dans des espaces vectoriels normés uniquement dans ce cours.
Pour la deuxième partie de ta question, si jamais $a$ n'est pas adhérent à $A$, pour $\delta>0$ assez petit tu n'auras plus aucun $x\in A$ pour lesquels $\|x-a\| <\delta$.
EDIT : doublement doublé :-D le temps de répondre
J'adore aussi l'expression : "le cours sur la continuité". Comme s'il n'y en avait qu'un ...
Cordialement.
J'ai bien compris, c'est cette phrase là que tu veux démontrer ?
Et tu n'as pas de livres de cours de lycée sous la main... Et tu as totalement oublié tout ce qu'on t'a appris au lycée. Ca va être compliqué !
On va encore bien rigoler.
Merci pour le premier point c'est compris.
Mais pour $a$ non adhérent à $A$ je n'ai pas compris.
La définition de $a \in Adh(A)$ est $\forall r>0 \ \ B_f (a,r) \cap A \ne \emptyset$
Donc $a \notin Adh(A)$ si $\exists r>0 \ \ B(a,r) \cap A = \emptyset$
Je ne vois pas comment en déduire que pour tout $\delta >0$, il n'existe pas de $a$ tel que $||x-a|| \leq \delta$
Par exemple si f est la fonction définie par $f(x)=0,$ si $x\neq 0$ et $f(0)=1$ ( f application de $A=\R$ et $F=\R$ )
On est bien dans les hypothèses et pourtant $f(0)=1\neq \lim _{x\rightarrow 0} f(x)$
La négation de "tous mes étudiants sont allés au restaurant hier" est :
"il existe un de mes étudiants qui n'est pas allé au restaurant hier"
@ gérard0, tu as sans doute raison, mais là je suis dans une période comme cela !
P.S C'est vrai qu'en vérifiant sur wiki, je remarque que je ne suis plus à la mode.
Bref...
Utilise la définition de la limite pour démontrer la remarque.
Pour ta question, tu es en train de demander pourquoi A est inclus dans son adhérence, c'est ça ?
Non je demande pourquoi dans la définition de la limite on prend $a$ dans l'adhérence. Je n'ai pas compris le raisonnement de maths2.
Je sais que $A \subset Adh(A)$ car si $x \in A$ alors $\forall r>0$, $x \in B(x,r) \cap A$.
Définition :
$\K$ désigne le corps $\R$ ou $\C$.
$E$ et $F$ sont deux $\K$ espaces vectoriels normés et $A$ désigne une partie de $E$.
Soit $f : A \longrightarrow F$ une application ainsi que $a$ un point adhérent à $A$ et $l \in F$. On dit que $f$ tend vers $l$ en $a$ si :
$\forall \varepsilon >0 \ \ \exists \eta >0 \ \ \forall x \in A \ \ ||x-a|| \leq \eta \implies ||f(x)-l|| \leq \varepsilon$
Peux-tu me donner le plus grand sous-ensemble de $\R$ sur lequel $x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ est une application bien définie ? Si tu réponds correctement, je pourrai t'expliquer pourquoi cette question n'est pas hors-sujet.
J'ai compris sa question comme "pourquoi on prend l'adhérence de $A$ au lieu de juste $A$". Je ne veux pas lui donner la réponse sous forme de commentaire ici, d'où mon exemple.
Mais, oui, en effet.
Tu viens de montrer une photo de la définition de f tend vers l en a, pas de f est continue en a...
Sais-tu faire la différence entre ces deux propriétés ?
Par exemple la fonction log est définie sur $\R^{+*} $ dont l'adhérence est $\R^{+} $.
On peut ainsi calculer la limite en $0$.
JLAPIN
Tu sais que $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des nombres réels. Pourtant, on calcule souvent des limites de fonctions réelles à l'infini. J'espère que tu as déjà vu la notation $\overline{A}$ pour l'adhérence d'une partie $A$ (elle est très courante). Les matheux ont inventé la "droite numérique achevée" notée $\overline{\R}$, c'est $\R \cup \{-\infty~;~+\infty\}$. La topologie de $\overline{\R}$ n'est pas compliquée une fois qu'on comprend celle de $\R$, et comme par hasard, l'adhérence de $\R$ dans $\overline{\R}$, ben, c'est $\overline{\R}$. Donc comme monsieur Jourdain qui faisait de la prose sans le savoir, quand tu calculais une limite à l'infini d'une fonction, tu calculais une limite dans $\overline{\R}$. Et on est bien obligé de fabriquer $\overline{\R}$, parce que les infinis doivent être dans l'espace total pour pouvoir être dans l'adhérence d'une partie : l'adhérence dans $\R$ d'une partie ne comporte jamais les infinis !
Et réponds à ceux qui t'aident ou t'apprennent des trucs même quand ils te disent autre chose que la sacro-sainte réponse de l'exercice que tu n'es pas foutu de faire seul puisque tu n'as jamais eu le courage d'en faire un seul dans ta vie, parce que bloquer plus de 1m54 sur une question est impensable alors que tu prétends vouloir devenir fort en maths pour être respecté.
Tu resteras une chose que je ne peux pas dire puisque je n'ai pas le droit d'insulter ici au niveau des maths. Toute ta vie. Tant que tu ne voudras pas apprendre à faire un exercice seul et que ta vie intellectuelle ressemblera à l'état de l'humanité à la fin de Wall-E, toujours à attendre la becquée de maman forum prête à te fourrer des lignes de réponse dans le gosier sans même que tu n'aies à faire l'effort de mâcher (puisque si des bouts sont trop gros et que tu ne comprends pas une étape, ne te fatigue pas la mâchoire petit chou, le forum viendra en armée à ta disposition pour te l'expliquer), tu seras nul en maths. Jamais bon à être prof même au collège, encore moins au lycée, un type qui n'aura jamais 3/20 à l'agreg, qui restera malheureux sans écouter les conseils, qui perdra son temps à souffrir à ne faire que des maths du matin au soir du soir au matin, mais sans jamais en avoir fait dans sa vie. Non, parce que tu cultives l'illusion envers toi-même que lire plein de cours en quantités industrielles, peut-être même les recopier et les surligner, les apprendre par coeur sans jamais rien comprendre, et enfin faire chaque exercice en lisant l'énoncé avant d'aller voir la correction, c'est faire des maths. Eh bien non, ce n'est rien du tout. C'est une activité intellectuellement inutile. Qui ne t'apporte rien. Tu refuses de réfléchir, les maths te refusent leurs faveurs. Tu n'as pas le courage d'être face à tes échecs pendant plus de trois minutes, tu viens chercher la réponse pour pouvoir penser en toi-même "Ah oui j'aurais trouvé en fait je sais faire c'est bon", ou son versant opposé "Je pourrais jamais penser à ça c'est du chinois j'abandonne ça ne servira à rien pour l'épreuve de maths de l'agrég".
Je n'arrive plus à rester calme, je n'ai pas non plus envie de simplement passer mon chemin sans rien dire. Tu me fatigues. Je veux te remuer. Que même si tu refuses de faire quoi que ce soit pour t'améliorer en maths, alors tu les lâches, puisque tu les détestes si fort que c'en est presque vexant pour moi, de voir à quel point tu te contrefous de chaque résultat que tout autre membre trouverait beau, intéressant, inattendu...mais que tu veux uniquement avoir une solution pour valider un exercice, passer au suivant, finir tous les exos du livre et commencer le prochain chapitre.
Prends ta vie mathématique en main, ou dis-lui au revoir et fais des efforts pour t'épanouir dans ta vie réelle.
Il faut passer au concret et faire des petits exercices, tout seul comme un grand.
Un premier exercice sur la continuité que je t'avais proposé mais que tu as zappé, c'était:
soit f une p application linéaire d'un e.v.n E vers un e.v.n F.
Montrer que f est continue sur E est équivalent à f est continue en $x=0$ ($x=0_E$).
J'ai déjà vu la droite achevée, mais je ne comprends pas le rapport avec ma problématique.
D'ailleurs l'adhérence de $]0,+\infty[$ est $[0,+\infty[$, quel rapport avec la droite achevée ?
@Bd2017
Je préfère étudier le cours avant de faire un exercice.
Je ne comprends toujours pas pourquoi si $a$ n'est pas adhérent à $A$, pour $\delta>0$ assez petit il n'existe plus aucun $x\in A$ pour lesquels $\|x-a\| <\delta$.
D'autre part pour ta question, je crois qu'il ne faut pas y répondre. En effet, tu viens de voir le cours sur la
topologie, sans faire pratiquement un exercice.
Donc tu as vu le cours sur la topologie mais tu ne sais rien faire.
Quand tu penseras avoir vu le cours sur la continuité tu passeras à la suite.
Puis quand tu verras par exemple cette phrase "la fonction linéaire étant continue en $x=x_0$ alors elle est continue en $x=0$ ...blabla et bien tu viendras demander pourquoi....
P.S Au passage tu as posé, il y a peu de temps, un exercice de polytechnique (fermeture des adhérents d'une suite) et tu as complètement ignoré ma démonstration (puisque ce n'était pas celle de ton livre). Et tu as ignoré aussi l'aide que j'ai voulu t'apporter en te demandant d'exprimer les phrases en français.
Et bien, cette démonstration c'est exactement la réponse à la question que tu nous pose aujourd'hui.
Tu dis que tu as déjà vu $\overline{\R}$, très bien, mais visiblement tu n'as pas compris ce que c'est.
Je te parlais du fait que la limite en $0$ de la fonction inverse, qui n'est pourtant pas définie en $0$, existe. Donc ça a effectivement un sens de parler de la limite d'une fonction en certains points où elle n'est pas définie, dans le sens : la notion de limite d'une fonction en un point, ça ne requiert pas forcément que le point où l'on cherche la limite soit un point où la fonction en question est définie. Cependant, et c'est ce que Poirot voulait te faire comprendre, on ne peut pas définir la notion de limite d'une fonction en un point n'importe où. Donc la question est : mais alors où diable est-ce que ça a un sens de définir cette notion de limite ?
J'essayais de te faire remarquer que ça fait des années que tu calcules des limites de fonctions $\R \longrightarrow \R$ en $\pm \infty$. Or une fonction $\R \longrightarrow \R$ a un domaine de définition inclus dans $\R$, et les infinis ne sont clairement jamais dedans. Mais alors, pourquoi c'est possible que tu aies calculé ces limites quand même ? Parce que tu calculais tes limite dans $\overline{\R}$, et que dans $\overline{\R}$, les infinis sont dans [size=x-large]l'adhérence[/size] de $\R$.
La raison pour laquelle la limite à gauche/droite en $0$ de la fonction inverse existe, c'est parce que $0$ est dans [size=x-large]l'adhérence[/size] du domaine de définition de la fonction inverse. Est-ce que maintenant, tu comprends le rapport et pourquoi la limite du logarithme en $-1$ ça ne marche pas ? Corrigé ci-dessous.
La réponse, c'est parce que c'est sur [size=x-large]l'adhérence[/size] de $A$ qu'on peut définir la limite de $f : A \longrightarrow B$ en un point.
Une fois j’avais vu un texte du genre : « on note $\overline{\mathbb R}$ la droite achevée, c’est-à-dire $\mathbb R \cup \{ -\infty ; +\infty \}$. »
Et cela m’a joué des tours, un jour.
En effet l’adhérence de $\mathbb R$ dans lui-même (qui se note aussi comme ça $\overline{\mathbb R}$), c’est $\mathbb R$.
Au cas où, je le dis.
C'est cette question qui me fout les boules. .... Cela a été fait il y a quelques jours à sa demande mais la seule chose qui l'a intéressé c'était son livre alors que dans la démonstration que j'ai proposé j'exprimais $a\notin Adh(A).$
Bref c'est toujours le même cirque.
Je ne sais pas résoudre l'exercice de polytechnique avec ta technique du complémentaire est un ouvert.
Homo topi ok j'ai compris.
EDIT : en plus, il manquait le $\in A$... c'est important, ces choses-là !
Est-ce que dans ton cours tu as vu la définition d'ouvert et de fermé ? Si oui est-ce que l'adhérence de $A$ est un ensemble fermé ? Si oui qu'est-ce qu'on peut dire du complémentaire ? Conclure...
Non. Car ta question c'est l'expression de a n'est pas dans l'adhérence et tu dis ne pas comprendre
C'est à dire que tu dis savoir mais tu ne sais pas. Ou plutôt tu dis ne pas savoir mais
que tu sais.
Bon je quitte aujourd'hui la discussion car on devient bourrique avec toi.
Je remets une formulation correcte ici :
Donc, la définition de $x \notin Adh(A)$, c'est : il existe $r > 0$ tel que $B(a,r)$ et $A$ soient disjoints.
math2 te dit : dans ce cas, pour $\delta > 0$ assez petit, il n'existe aucun $x \in A$ tel que $\|x-a\| < \delta$.
Traduis intelligemment $\|x-a\| < \delta$ en termes de boules ouvertes pour commencer : $\dots \in B(\dots,\dots)$.
Oui j'ai vu les notions d'ouverts et de fermés. L'adhérence d'une partie $A$ est le plus petit fermé contenant $A$. Montrons que $Adh(A)$ est un fermé.
Dire qu'un point $x$ n'appartient pas à l'adhérence de $A$ signifie qu'on peut trouver $r>0$ tel que $B(x,r) \cap A= \emptyset$ ou encore $B(x,r) \subset E \backslash A$ ce qui signifie que $x \in Int(A)$.
Donc $E \backslash Adh(A)= Int(E \backslash A)$. On en déduit que $\boxed{Adh(A)=E \backslash Int(E \backslash A)}$
L'intérieur étant un ouvert, le complémentaire d'un ouvert étant un fermé, $Adh(A)$ est bien un fermé.
Je ne vois pas comment conclure qu'il n'existe aucun $x$ tel que $||x-a|| \leq \delta$ pour $\delta$ assez petit.
@Homo Topi
$x \in B_f(a,\delta)$
En attendant : attention, c'est $x \in B(a,\delta)$, la boule n'est pas fermée ! L'inégalité était stricte, donc c'est la boule ouverte ici. Ceci mis à part, regarde :
Tu disais que $x \notin Adh(A)$ signifie : il existe $r > 0$ tel que $B(a,r)$ et $A$ soient disjoints.
Avec ta traduction donc, math2 te disait : dans ce cas, pour $\delta > 0$ assez petit, il n'existe aucun $x \in A$ tel que $x \in B(a, \delta)$.
Vois-tu de quelles valeurs de $\delta$ il voulait parler ? C'est vraiment trivial avec les deux lignes ci-dessus.
Pour $\delta \in ]0,r ]$ ?
Je pense avoir compris cette fois !
Sans vouloir répéter tout ce qu'on t'a déjà dit 150 fois (fais des exercices simples, fais des dessins, etc etc) il y a un truc en plus. Peut-être que tu as du mal à combiner les informations parce que tu n'arrives pas à voir lesquelles sont associées. math2 utilisait la notation $B(\dots,\dots)$ une fois, puis la notation $\|\dots - \dots\|$ la fois d'après. "Nous" on sait traduire de l'une à l'autre directement par habitude, toi on dirait que tu as bloqué sur ça.
Je ne sais pas trop quel conseil te donner si c'est un vrai problème que tu as.