Prolongement

Amédé
Amédé
dans Analyse
Bonjour,
est-ce que $f:x\longmapsto|x|^{3/2}\sin(1/x)$ admet un prolongement dérivable sur $\R$. Je trouve qu'il y a un prolongement par continuité en 0. Mais je ne trouve pas qu'il soit dérivable. J'ai peut-être fait une bêtise cela dit.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Quel test as-tu effectué pour savoir si le prolongement par continuité était dérivable ?
  • Amédé
    Amédé
    Si $x\not=0$ je peux calculer $f'(x)=\dfrac{3x^{3}\sin(1/x)-2x^{2}\cos(1/x)}{2x^{2}\sqrt{|x|}}$. Je trouve une limite infinie en $0$.
  • Amédé
    Amédé
    Après quand je la lance dans géogebra la dérivée explose en 0. Je pense que l'affaire est réglée.
  • Poirot
    Poirot
    On a $f(0)=0$ et pour $x \neq 0$, $\frac{f(x)}{x} = \pm |x|^{1/2} \sin(1/x)$ dont la limite en $0$ est immédiate.
  • Amédé
    Amédé
    Merci Poirot d'avoir corriger mon strabisme. Cela dit quand on dessine la fonction ce n'est pas flagrant.
  • Poirot
    Poirot
    Ton calcul n'est tout de même pas inutile puisque tu as obtenu que ta fonction n'est pas de classe $\mathcal C^1$. Classiquement on prend plutôt $x^2 \sin(1/x)$ mais ça ne change rien.
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