Caractérisation des valeurs d'adhérence
Bonsoir,
J'ai besoin de cette proposition pour résoudre un exercice d'oral de Polytechnique 2018 :
Soit $(x_n)$ une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la la suite $(x_n)$ est un fermé de $E$.
Proposition :
Soit $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite à valeurs dans $E$ et $x$ un élément de $E$. Alors $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ si et seulement si :
$\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n -x|| \leq \varepsilon$.
J'ai du mal à comprendre la différence avec la limite d'une suite. Ca signifie quoi concrètement cette suite de quantificateurs ?
J'ai du mal à comprendre la différence avec :
$\forall \varepsilon >0 \ \ \exists n_0 \in \N \ \ n \geq n_0 \implies |u_n -l| \leq \varepsilon$
J'ai besoin de cette proposition pour résoudre un exercice d'oral de Polytechnique 2018 :
Soit $(x_n)$ une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé $E$. Montrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la la suite $(x_n)$ est un fermé de $E$.
Proposition :
Soit $(a_n)_{n \in \N}$ est une suite à valeurs dans $E$ et $x$ un élément de $E$. Alors $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ si et seulement si :
$\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n -x|| \leq \varepsilon$.
J'ai du mal à comprendre la différence avec la limite d'une suite. Ca signifie quoi concrètement cette suite de quantificateurs ?
J'ai du mal à comprendre la différence avec :
$\forall \varepsilon >0 \ \ \exists n_0 \in \N \ \ n \geq n_0 \implies |u_n -l| \leq \varepsilon$
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Réponses
P.S pour la démonstration, je démontrerai que le complémentaire est un ouvert.
P.S 2. Déjà sans les quantificateurs. Comment traduis-tu en français
$|| a_n - x||< \epsilon $ ?
Voici un exercice de Polytechnique.
Pourriez-vous me rappeler les cours de collège et de lycée sur les quantificateurs pour que je puisse vous poser ensuite des questions sur cet exercice ?
Je te propose de tester avec des exemples concrets :
1) est-ce que 1 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?
2) est-ce que -1 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?
3) est-ce que 2 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?
4) est-ce que 2 est une valeurs d'adhérence de la suite $2,1,-1,1,-1,1,-1,...$ ?
5) est-ce que 2 est une valeurs d'adhérence de la suite $1,2,3,1,2,3,1,2,3,...$ ?
6) est-ce que 0 est une valeurs d'adhérence de la suite $(\cos(\dfrac{\pi}{2}n))$ ?
7) est-ce que 0 est une valeurs d'adhérence de la suite $(1/n)$ ?
Quel que soit epsilon quel que soit $n_0$ il existe un rang $n$ supérieur a $n_0$ tel que la distance entre $a_n$ et $x$ est inférieure à $\varepsilon$.
Pour la converge d'une suite.
Quel que soit $\epsilon$ il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n$ supérieur a $n_0$ la distance entre $a_n$ et $x$ est inférieure à $\varepsilon$.
1) Oui
2) Oui
3) Non
4) Non
5) Oui
6) Oui
7) Une suite qui converge possède une unique valeur d'adhérence sa limite, donc oui.
tu arrives à donner une autre caractérisation de "$\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \exists n \geq n_0 \ \ ||a_n -x|| \leq \varepsilon$" en termes de suites extraites ?
Donc on a l'équivalence : $x$ est une valeur d'adhérence de la suite $(a_n)$ ssi il existe une sous-suite de $(a_n)$ qui converge vers $x$.
Ce n'est pas difficile à démontrer mais te connaissant tu risques de t’emmêler les pinceaux. :-D
Remarque : sous-suite ou suite extraite c'est la même chose.
L'exercice se fait rapidement.
@Amédé
Ta formule compliquée je l'ai déjà vue en exercice dans le cours mais ici est-elle utile ici ?
Notons $Adh(x_n)$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $(x_n)$. Soit $(a_n)$ une suite convergente d'éléments de $Adh(x_n)$ qui converge vers $l$. Montrons que $l \in Adh(x_n)$.
Il s'agit donc de montrer que $\boxed{\forall \varepsilon >0 \ \forall n_0 \in \N \ \ \exists n \geq n_0 \ \ ||x_n -l || \leq \varepsilon}$
Soit $\varepsilon >0$ et $n_0 \in \N$.
On a $||x_n -l||=||( x_n -a_q) + (a_q-l) || \leq ||x_n -a_q|| + ||a_q -l || \leq \varepsilon + \varepsilon \leq 2 \varepsilon$
Ce qui termine l'exercice.
Bref, une machine m'accuse d'être une machine...
Je suis désolé @Os mais à moins d'être mal réveillé, ta démonstration me semble bien incorrecte. Mais au minimum, je suis certain que c'est très mal rédigé.
N'oublie pas ceci
Il manque des choses dans ta démonstration. Il y a des choses dans le désordre.
J’imagine une coquille bénigne.
Par ailleurs, à l'oral de l'X, il y a d'abord un exercice préparé avant le passage au tableau, puis un exercice sans préparation, pour lequel l'examinateur donne les questions au fur et à mesure de l'avancée du candidat. Si le candidat n'a pas avancé sur cette première question, il n'a peut-être jamais su qu'il y avait quelque chose après...
OShine précise d’emblée que pour démontrer que $Adh(x_n)$ est fermé il montrera que tout suite de $Adh(x_n)$ convergente a sa limite dans $Adh(x_n)$.
Les quantificateurs sont bien utilisés donc rien à dire de ce côté.
Si on veut pinailler il y a la coquille relevée par Dom : $a_p \in Adh(x_n)$ (il s'agit de $q$ et pas de $p$ en indice)
et les $\varepsilon$ qui devraient être divisés par deux afin d'éviter un $2\varepsilon$ à la fin (mais là on pinaille, quoique s'agissant de OShine on peut en effet se demander s'il maîtrise ce passage...).
Des choses passent pour bien moins que ça.
C’est à l’oral qu’il est intéressant de fouiller un peu les implicites dans cet extrait là.
Oui c'est une coquille c'est $a_q$
Ton travail était, et est toujours, de le démontrer.
Je ne te fais pas la leçon, il y a un temps pour tout et pour chacun.