Analyse de Hardy

Bonsoir,

L'indication de Frédéric Bosio est excellente : il suffit de juste de vérifier qu'on peut trouver des constantes $C,D>0$ et $0<\beta<2$ telles que pour tout nombre complexe $z$, on a
\[\lvert f(z)e^{-(1+i)z}\rvert\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}\;.\]

@BobbyJoe : Je pense que Yanel s'en est servi mais n'a réussi à majorer $\lvert f\rvert$ par $1$ que sur la frontière d'un quadrant.
En divisant $f(z)$ par $e^{(1+i)z}$, on peut appliquer le principe de Phragmén-Lindelöf sur chaque quadrant et montrer que $z\mapsto f(z)e^{-(1+i)z}$ est bornée sur $\C$.

Bonsoir,
Voici comment je me sors du problème. Je pose $g\colon z\mapsto f(z)e^{-(1+i)z}$ et soit $U=\{z\in\C\colon\lvert z\rvert\leqslant 1\}$.
Je pose $\displaystyle C=\max(A,\sup_{z\in U} |g(z)|)$, $D=B+2$ et $\beta=\max(1,\alpha)$.
On a évidemment $C>0$, $D>0$, $0<\beta<2$ et $g(0)=0$.
Alors, pour tout $z\in\C$, on a $\lvert g(z)\rvert\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}$.
En effet :

• si $z\in U$, on a $\lvert g(z)\rvert\leqslant C\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}$ ;
• si $z\in\C\setminus U$, alors $\lvert z\rvert>1$, donc $\lvert g(z)\rvert=\lvert f(z)\rvert e^{-\mathrm{Re}((1+i)z)}\leqslant Ae^{B\lvert z\rvert^\alpha-\mathrm{Re}(z)+\mathrm{Im}(z)}\leqslant Ce^{B\lvert z\rvert^\alpha+2\lvert z\rvert}\leqslant Ce^{D\lvert z\rvert^\beta}$.

De plus, pour tout $z\in\R\cup i\R$, $\lvert g(z)\rvert\leqslant 1$.
D'après le principe de Phragmén-Lindelöf appliqué sur chacun des quadrants (donc des angles de $\dfrac{\pi}2$), on trouve que $\lvert g\rvert\leqslant 1$ sur $\C$.
Le théorème de Liouville nous dit que $g$ est constante, et comme $g(0)=0$, $g$ est la fonction nulle, donc $f$ aussi.