Soit $X$ un [large]B[/large]anach et $I$ est l'opérateur d'identité $\quad I:X\rightarrow X$
Est-ce que cette implication est vraie ?
$$(\dim E=\infty) \implies (I \text{ est un opérateur non comapct}).
$$
[Stefan Banach (1892-1945) prend toujours une majuscule. AD]
Réponses
Sachant que si $I$ est compact, toute partie bornée est relativement compacte, et que toute partie relativement compacte est bornée par hypothèse, la compacité de $I$ implique que borné $\Longleftrightarrow$ relativement compact. J'avoue que ça fait rapidement penser à la caractérisation des compacts dans $\K^n$...