Espace de Hardy et fonction holomorphe

Bonjour
Soit $\Pi$ le projecteur qui à chaque fonction $f\in L^2(\mathbb T),\ \mathbb T=\R/(2\pi \Z)$ associe $\Pi f$ qui est un élément de l'espace de Hardy $H^2(\mathbb T)$ (c'est l'espace de fonctions analytiques sur le disque unité $\mathbb D$ du plan complexe).
J'aimerais calculer $$\Pi\Big(\frac{z}{(z-q)(1-qz)}\Big),\qquad |q|<1.
$$ Si j'avais $\Pi(\frac{1}{z-q})=0$, mais pour le facteur en $1-qz$ je ne pense pas que ça va donner zéro car $z=\frac1q$ est à l'extérieur du disque unité... Donc on fait comment ?
Merci d'avance !