Théorème de convergence dominée de Lebesgue
Salut
Soit $\Omega$ un domaine borné $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :
$f_n$ converge p.p vers $f $
$f_n$ est bornée dans $L^{p}(\Omega)$.
Alors $f_n$ converge fortement dans $L^{p}(\Omega)$.
Est-ce que ce que j'ai écrit au dessus est vrai en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Edit en rouge.
Soit $\Omega$ un domaine borné $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :
$f_n$ converge p.p vers $f $
$f_n$ est bornée dans $L^{p}(\Omega)$.
Alors $f_n$ converge fortement dans $L^{p}(\Omega)$.
Est-ce que ce que j'ai écrit au dessus est vrai en utilisant le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Edit en rouge.
Réponses
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Non.
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Un petit contre-exemple, $E=\N$ muni de la mesure de comptage, et $f_n=1_{\{n\}}$ pour tout $n$.
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$f_n$ est égale à $1$ si $x\in \mathbb{N}$ et 0 sinon ?
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Non, $f_n $ vaut $1$ en le seul entier $n$. Et vaut $0$ en tous les autres.
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$f_n(n)=1$ et $f_n(k)=0$ pour tout autre $k$ entier ($f_n$ est définie sur $\N$).
Ainsi $(f_n)_n$ converge simplement vers la fonction nulle $\N\to \R$, mais $\|f_n\|_p=1$ pour tout $p$ de sorte que la suite est bornée dans $L^p$ mais ne converge pas pour la norme vers $0$. -
Excuse-moi je n'avais pas vu l'hypothèse $\Omega$ borné...
Je me place donc dans $E=\Omega=[0;1]$ muni de sa famille de parties comme tribu et de la mesure de comptage $\mu$. Ici $\Omega$ est borné.
Et cette fois je pose $f_n=1_{1/n}$, c'est-à-dire que $f_n(x)=0$ sauf si $x=1/n$ auquel cas $f_n(1/n)=1$
Nous avons toujours les formules annoncées plus haut. -
Oui ..j'ai ajouté l'hypothèse après sans indiquer que j'ai modifiée le message..excusez-moi!
Merci beacoup math2 &Frédéric Bosio .
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