Opérateur autoadjoint et base orthonormale

Bonjour,
Soit $T$ un opérateur autoadjoint de domaine $\mathscr D$ dense dans $L^2$. Peut-on toujours construire une base orthonormée de $L^2$ formée des vecteurs propres de $T$ ?
Il me semble que les espaces propres associés à des valeurs propres différentes seront orthogonaux à cause de la relation $$
\lambda_n\langle u,v\rangle= \langle T u,v\rangle= \langle u,Tv\rangle= \lambda_m\langle u,v\rangle
$$où $u$ est un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda_n$ et $v$ associé à $\lambda_m$.
Puis dans le même espace propre, on se débrouille pour trouver une base de cet espace propre, formée par des vecteurs propres tous orthogonaux les un aux autres?
Merci d'avance !