Calculs de sommes exponentielles
Bonjour à tous
Je cherche à trouver une expression simple des sommes suivantes :
$$ S_{n} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^{n}}{k!}.
$$ J'y arrive facilement pour les petites valeurs de $n$ et je conjecture que $S_{n}=k_{n}e$ où $k_{n}$ est un entier naturel, mais je ne parviens pas à calculer $k_{n}$.
Pensez-vous qu'il existe une relation simple sur cet entier ? Ou bien est-ce inespéré de vouloir en
obtenir une expression... En tous cas, l'utilisation de Maple ou de Python ne me donne pas d'idées !
Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonne soirée,
$\alpha$-Nico
Je cherche à trouver une expression simple des sommes suivantes :
$$ S_{n} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{k^{n}}{k!}.
$$ J'y arrive facilement pour les petites valeurs de $n$ et je conjecture que $S_{n}=k_{n}e$ où $k_{n}$ est un entier naturel, mais je ne parviens pas à calculer $k_{n}$.
Pensez-vous qu'il existe une relation simple sur cet entier ? Ou bien est-ce inespéré de vouloir en
obtenir une expression... En tous cas, l'utilisation de Maple ou de Python ne me donne pas d'idées !
Merci par avance à ceux qui pourront m'aider.
Bonne soirée,
$\alpha$-Nico
Réponses
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On a $S_n = e^n$ pour tout entier $n$. De manière générale, pour tout nombre complexe $z$ on a $e^z = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{z^k}{k!}$.
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En particulier ton $k_n$ vaut $e^{n-1}$ et n'est entier que lorsque $n=1$.
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Désolé Poirot, je m'étais trompé dans l'énoncé de ma question ! Je viens de corriger...
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Il faut exprimer $X^n$ comme combinaison linéaire de $\bigl(X,X(X-1),X(X-1)(X-2),\dots\bigr)$ et simplifier comme on peut.
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En m'intéressant aux nombres de relations d'équivalence sur un ensemble j'ai vu une formule (dite formule de Dobinski) qui parle de nombres de Bell.
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Bonjour,
Les sommes $\displaystyle S_n = \sum_{k \geq 0} {k^n \over k!}$ pour tout $n$ entier me semble avoir une expression simple.
A vérifier.
On calcule à la main $S_0, S_1, S_2.$
Puis on calcule $S_{n+1}$, on simplifie par $k$ numérateur et dénominateur (l'indice commence alors à $1$), puis on effectue un changement d'indice $k-1 \leadsto k$ pour ramener le dénominateur à $k!$, il suffit du binôme de Newton pour développer le numérateur $(k+1)^n.$
On a donc exprimé $S_{n+1}$ selon tous les $S_p$ pour $p=0, 1, ..., n.$
Voilà !
On trouve : $\displaystyle S_{n+1} = \sum_{p=0}^n C_n^p S_p$ et donc $S_n = a_n e$ avec $a_0=1$ et $\displaystyle a_{n+1} = \sum_{p=0}^n C_n^p a_p.$ -
Merci YvesM pour ta réponse très claire !
$\alpha$-Nico -
Les polynômes sous-jacents sont les polynômes de Touchard (Jacques) ou de Bell ou exponentiels.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe
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