L'opérateur rotationnel

$\newcommand{\rot}{\operatorname{rot}}\newcommand{\div}{\operatorname{div}}$Bonjour à tous

Soit $v(x,t)=(v_1(x,t) ,v_2 (x,t),v_3(x,t))$ et $v_r=(v_{r1}(x,t), v_{r2}(x,t), v_{r3}(x,t)) , p(x,t) \in \mathbb{R} .$
Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}$ et $Q= \Omega \times [0,T]$.
On considère le problème suivant
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a)\quad \partial_t v - \nu \Delta v+ (v \cdot \nabla )v + (v \cdot \nabla )v_r + (v_r \cdot \nabla )v + \nabla p -
\nabla \wedge \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha|^{-1} D^\alpha D^\alpha (\nabla \wedge v) + \nabla p = \lambda v & \mbox{dans } Q\\
b)\quad \nabla \cdot v =0 ; \nabla \cdot v_r =0 & \mbox{dans } Q
\end{array}
\right.
$$ $\nabla \wedge v = \rot ~ v .$
Je veux montrer que $\rot v =0$ ... pour cela j'ai appliquée rotationnel à l'équation a) et j'obtiens
$
\partial_t (\rot v) - \nu \Delta (rot v) + rot( (v\cdot\nabla )v) + \rot( (v \cdot\nabla )v_r) (\rot v) + \rot((v_r \cdot\nabla )v ) \\
- \rot(\nabla \wedge \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha|^{-1} D^\alpha D^\alpha (\nabla \wedge v) ) + \rot( \nabla p) = \lambda (\rot v)

$
J'ai multiplié l'équation a) par $\rot v$ ce qui donne
$
\frac{1}{2}\partial_t |\rot v|^2 - \nu \Delta (\rot v) (\rot v)+ \rot( (v\cdot\nabla )v)(\rot v) + \rot( (v \cdot\nabla )v_r) (\rot v)
+ \rot((v_r \cdot\nabla )v )(\rot v) \\
- \rot(\nabla \wedge \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha|^{-1} D^\alpha D^\alpha (\nabla \wedge v) ) + \rot( \nabla p)(\rot v) = \lambda |\rot v|^2
$
Par des calculs on a :
$ \rot( \nabla p)(\rot v) =0 $ car p est une fonction scalaire.

$\rot( \nabla \wedge \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha |^{-1} D^\alpha D^\alpha (\rot v) )=
\nabla ( \div (\sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha |^{-1} D^\alpha D^\alpha (\rot v) ))
- \Delta ( \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} | \alpha |^{-1} D^\alpha D^\alpha (\rot v) )(\rot v)= \\
- \Delta ( \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha |^{-1} D^\alpha D^\alpha (\rot v) )(\rot v)= - \sum_{\alpha \in \mathbb{N}} |\alpha |^{-1} D^\alpha D^\alpha \Delta((\rot v) )(\rot v) $
$
\rot( (v\cdot\nabla )v)(\rot v) = ( (v\cdot\nabla )\rot v) (\rot v) - ( ((\rot v)\cdot\nabla )v) (\rot v) = \div (v \cdot |\rot v|^2 ) - \frac{1}{2}v\cdot \nabla(|\rot v|^2)
$
$\rot( (v \cdot\nabla )v_r) (\rot v)= \sum_{j=1}^3 \frac{1}{2} v_{rj} \partial_j \partial_j |\rot v|^2 +\sum_{j=1}^3 \nabla v_{rj} [ \partial_j v \wedge \rot v] $
$ \rot((v_r \cdot\nabla )v )(\rot v) = \sum_{j=1}^3 \nabla v_{j} [ \partial_j v_r \wedge \rot v] + \sum_{j=1}^3 v_{j} \partial_j (\rot v_r) (\rot v) $

C'est la je me suis arrêté, je ne trouve plus d'idée pour avancer.
Merci d'avance.
$\div= $ la divergence